Понятие сложных суждений неразрывно связано с конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией, эквиваленцией и отрицанием. Это так называемые логические связки. Они используются в качестве объединяющего звена, привязывающего одно простое суждение к другому. Именно так образуются сложные суждения. То есть сложные суждения — это суждения, созданные из двух простых.
Отношение истинности суждений отображается в таблицах. Эти таблицы отражают все возможные случаи истинности и ложности суждений, причем каждое из простых суждений, входящее в состав сложного, отражается в «шапке» таблицы в виде буквы (например, a, b). Истинность или ложность отражается в виде букв «И» или «Л» (истина и ложь соответственно).
Прежде чем рассматривать конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, эквиваленцию и отрицание, имеет смысл дать им краткую характеристику. Данные логические связки называют логическими постоянными.
В литературе можно встретить их иное название — логические константы, однако от этого не мееняется их суть. В нашем языке эти постоянные выражаются определенными словами. Так, конъюнкция выражается союзами «да», «но», «хотя», «зато», «и»и другими, а дизъюнкция — при помощи союзов «или», «либо» и др. Можно говорить об истинности конъюнкции, если истинны оба простых суждения, входящих в нее. Дизъюнкция истинна, когда истинно только одно простое суждение. Это относится к строгой дизъюнкции, нестрогая же истинна при условии истинности хотя бы одного из составляющих ее простых суждений. Импликация характеризуется истинностью всегда, кроме одного случая.
Рассмотрим сказанное выше подробнее. Конъюнкция (a^b) — это способ связи простых суждений в сложные, при котором истинность полученного суждения напрямую зависит от истинности составных. Истинность таких суждений достигается только тогда, когда оба простых суждения (и a, и b) так же истинны. Если хотя бы одно из данных суждений ложно, то ложным следует признать и образованное из них новое, сложное суждение. Например, в суждении «Этот автомобиль очень качественный (a) и пробежал всего десять тысяч метров (b)» истинность зависит как от его правой стороны, так и от левой. Если оба простых суждения истинны, то истинно и сложное, образованное из них. В противном случае (если хотя бы одно из простых суждений ложно) оно является ложным. Это суждение является характеристикой конкретному автомобилю. Ложность одного из простых суждений, очевидно, не исключает истинности другого, и это может приводить к ошибкам, связанным с определением истинности сложных суждений, образованных при помощи конъюнкции. Конечно, истинность одного простого суждения не исключается ложностью другого, но не следует забывать, что мы даем характеристику предмету, и с этой точки зрения ложность одного из простых суждений рассматривается с другой стороны. Это связано с тем, что с ложностью суждения по одному из пунктов данной характеристики характеристика в целом становится ложной (другими словами, ведет к передаче неверной информации о машине в целом).
Дизъюнкция (a∨b) бывает строгой и нестрогой. Отличие между этими двумя видами дизъюнкции состоит в том, что при нестрогомвиде члены ее не исключают друг друга. Примером нестрогой дизъюнкции может быть: «Для получения заготовки деталь можно довести на станке (a) или предварительно обработать напильником (b)». Очевидно, что здесь а не исключает b и наоборот. Истинность подобного сложного суждения зависит от истинности его членов следующим образом: если ложны оба члена, ложным признается и образованное при их посредстве дизъюнктивное суждение. Однако, если ложно только одно простое суждение, такая дизъюнкция признается истинной.
Строгая дизъюнкция характерна тем, что ее члены исключают друг друга (в отличие от нестрогой дизъюнкции). Суждение «Сегодня я сделаю уроки (a) или пойду гулять на улицу (b)» является примером строгой дизъюнкции. Действительно, можно совершить в данный момент только одно действие — сделать домашнюю работу либо идти гулять, оставив уроки на потом. Поэтому строгая дизъюнкция истинна, только когда истинно лишь одно из простых суждений, входящих в нее. Это единственный случай истинности строгой дизъюнкции.
Эквивалентнция характеризуется тем, что образованное сложное суждение истинно только в тех случаях, когда истинны оба простых суждения, входящих в его состав, и ложно при ложности обоих этих суждений. В буквенном выражении эквивалентность выглядит как a ≡ b.
При отрицании суждения, отображающееся как a (с горизонтальной чертой над буквой а - неа), истинно тогда, когда ложно отрицаемое понятие. Это связано с тем, что отрицание и отрицаемое простое суждение не только противоречат, но и исключают (отрицают) друг друга. Таким образом, получается, что, когда истинно понятие a , ложно понятие a (с горизонтальной чертой над буквой а - неа). И наоборот, если ложно a (неа), то отрицающее его a (неа) является истинным.
Импликация (a → b) истинна во всех случаях, кроме одного. Другими словами, если оба входящих в импликацию простых суждения истинны или ложны либо если ложно суждение a, импликация истинна. Однако при ложности суждения b ложным становится и сама импликация. Это можно рассмотреть на примере: «Мы бросим исправный патрон в костер (a), он взорвется (b)». Очевидно, что если первое суждение верно, то верно и второе, так как взрыв патрона, брошенного в костер, произойдет с неизбежностью. Поэтому, рассмотрев первый случай, мы можем сделать вывод о том, что если второе суждение ложно, то ложна и вся импликация.
Все рассмотренные выше примеры конъюнкции, дизъюнкции, импликации состояли из двух переменных. Однако это не всегда бывает так. Возможно наличие трех и более переменных. Рассматривая сложные суждения на предмет истинности, мы получаем буквенные формулы. Последние могут характеризоваться как истинностью, так и ложностью. В связи с этим тождественно-истинной называется формула, которая истинна при любых комбинациях своих переменных. Наименование тождественно-ложной имеет формула, которая принимает только ложное значение (значение «ложь»). Последним видом таких формул является выполнимая формула. В зависимости от комбинаций переменных, входящих в нее, она может принимать как значение «истина», так и значение «ложь».
