Решение систем линейных уравнений.

В матричной форме записи система (4.1) имеет вид:

(4.2)

где : n – порядок системы;

– матрица коэффициентов системы;

– вектор свободных членов; – вектор неизвестных;

В свернутой форме записи СЛУ имеет вид:

(4.3)

Система называется обусловленной (не вырожденной, не особенной), если определитель системы DA ¹ 0, и тогда система (4.1) имеет единственное решение.

Система называется не обусловленной (вырожденной, особенной), если DA = 0, и тогда система (4.1) не имеет решений или имеет бесконечное множество решений.

На практике коэффициенты системы a_ij и свободные члены b_i часто задаются приближенно, с некоторой неустранимой погрешностью. Поэтому, кроме существования и единственности решения СЛУ, важно еще знать, как влияет такая погрешность на получаемое решение.

Система называется плохо обусловленной, если неустранимая погрешность оказывает сильное влияние на решение; у таких систем определитель близок, но не равен 0.

Рассмотрим пример плохо обусловленной системы.

Дана система

Решение ;

Пусть b₂ имеет неустранимую погрешность %.

Если b2 = 1,01, то

Если b2 = 0,99, то

Решение изменяется очень сильно, следовательно, система плохо обусловлена, о чем говорит значение её определителя.

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию обусловленности СЛУ на примере системы двух уравнений с двумя неизвестными:

a₁₁ x₁+ a₁₂ x₂ = b₁ уравнение (I)

a₂₁ x₁+ a₂₂ x₂= b₂ уравнение (II)

Рис. 4.1. Геометрическая иллюстрация обусловленности СЛУ.

Каждому уравнению в плоскости (x₁,x₂) соответствует прямая, а точка пересечения этих прямых является решением этой системы. Если ΔA = 0, то наклоны прямых одинаковы, и они либо параллельны (т.е. не имеют решения), либо совпадают (имеют бесконечное множество решений). Если ΔA ¹ 0, то прямые имеют единственную точку пересечения.

Но если система плохо обусловлена (∆А≈0), даже незначительное изменение одного из коэффициентов приведет к сильному изменению решения системы, т.к. прямые почти параллельны.

Для решения СЛУ широко применяться прямые и итерационные методы. Область применения некоторых из них показана в таблице.

Тип	Название метода	Число арифметических действий (при n = 20)	Область примененения
Прямые	Формулы Крамера	~ ( )	n<5
Исключения Гаусса	~ (5733)	n<200
Итерационные	Простых итераций	~ n² на каждой итерации (400n)	до 105
Гаусса-Зейделя

Современная супер-ЭВМ имеет производительность 30 терафлоп – 30·10¹² операций с вещественными числами в секунду. Такой машине для решения СЛУ для n=20 по формуле Крамера требуется:

года.

На решение СЛУ прямым методом сильное влияние оказывает погрешность округления, т.к. требуется огромное количество арифметических действий.

На решение СЛУ итерационным методом погрешность округления практически не влияет, но не всегда удается обеспечить сходимость итерационного процесса.