Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Решение уравнений – это одна из древнейших математических задач. Ещё в Древней Греции умели решать линейные и квадратные алгебраические уравнения. В эпоху Возрождения (XV век) Джироламо Кардано и его ученик Луиджи Феррари получили точные решения для алгебраических многочленов 3 и 4 степени. Позднее много усилий было затрачено на получение точного решения многочленов 5 степени и выше. Но только в 20-х годах XIX века было доказано, что решение алгебраического многочлена n-ой степени

a_n x ⁿ + a_n-1x^n-1 +...+ a₀ = 0, где a_n ¹ 0

при n ³ 5 нельзя выразить через коэффициенты с помощью арифметических действий и операций извлечения корня.

Известно, что алгебраический многочлен n-ой степени имеет n корней, причём они могут быть вещественными и комплексными (теорема Гаусса).

Решение трансцендентных уравнений в явном виде также может быть получено в редких, простейших случаях. Трансцендентные уравнения, включающие алгебраические, тригонометрические, экспоненциальные функции от неизвестного x, как правило, имеют неопределённое число корней. Необходимость решения трансцендентных уравнений возникает, например, при расчёте устойчивости систем, расчете парожидкостного равновесия и т.п.

Достаточно распространенной задачей является так же нахождение некоторых или всех решений системы из n нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений с n неизвестными.

Рассмотрим вначале методы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным.

Пусть задана непрерывная функция f(x) и требуется найти корни уравнения

f(x)=0 (3.1)

на всей числовой оси или на некотором интервале .

Всякое значение , удовлетворяющее условию , называется корнем уравнения (6.1), а способ нахождения этого значения и есть решение уравнения (3.1).

Методы решения уравнений:

· Прямые (формула Виета для квадратного уравнения и Кардано для кубического и другие)

· Итерационные – для решения любого уравнения

Численное решение уравнения проводится в два этапа:

1 этап. Отделение корней уравнения.

2 этап. Уточнение интересующих корней с заданной точностью ε.