Тема: Статистические средние величины

1.Понятие средних величин

2.Разновидности средних величин

3.Их свойства

4.Мода и медиана

Средние величины - это обобщающие характеристики однотипных явлений по какому-либо варьирующему количественному признаку. Они обладают способностью сохранять свойства статистических совокупностей.

Для однородных совокупностей их называют центром группирования.

Существует несколько разновидностей средних величин. Виды средних различаются прежде всего тем, какое свойство, параметр изменяющихся единиц совокупности должен быть сохранен неизменным. Самой распространенной разновидностью средней является средняя арифметическая.

Средняя арифметическая – среднее значение признака, при вычислении которого общая сумма признака сохраняется неизменной.

Если совокупность сходной информации уже представлена в обработанном виде, то считается средняя взвешенная.

Средняя арифметическая взвешенная отражает сложное строение совокупности и учитывает повторяемость признака.

f_i- частота повторения признака.

m – количество групп ряда распределения

Средняя арифметическая взвешенная - отражает в какой-то мере сложное строение совокупности и учитывает повторяемость признака.

Средняя арифметическая обладает рядом свойств, которые имеют практическое применение:

1.Сумма положительных и отрицательных отклонений, умноженных на их частоты, равна нулю;

2.Средняя величина, умноженная на численность всей совокупности, равна сумме произведений каждой варианты на ее численность;

3.Величина средней зависит не от самих абсолютных значений частот, а от пропорций между ними. Пропорции задают частости ряда распределения.

Чисто математические свойства среднего арифметического значения могут быть представлены способом условного нуля (условной средней или способом моментов). Эти свойства позволяют упрощать расчет средней арифметической.

Второй разновидностью средних является средняя гармоническая.

Ее смысл аналогичен среднему арифметическому, разница заключается в использовании представленной информации. Гармоническая может быть простой и взвешенной.

Простая :

Взвешенная:`

Средняя геометрическая- применяется в расчетах рядов динамики.

Где K_i-относительный параметр

Средняя хронологическая:

Мода- наиболее часто встречающееся значение признака у единиц совокупности.

Где Х₀-нижняя граница модального интервала;

i - величина интервала;

f₁,f₂,f₃-частоты соответственно предмодального, модального и послемодального интервалов.

Медиана-это структурная характеристика значения признака, которая совпадает со средней единицей ранжированного ряда.

Ранжированный ряд- это ряд, построенный в порядке возрастания или убывания признака.

Медиана делит ряд пополам и по обе стороны от нее находится одинаковое количество единиц совокупности. Для определения медианы в интервальном ряду сначала определяется медианный интервал. Он определяется следующим образом: частоты накапливаются до половины суммы частот или чуть больше, а дальше медиана рассчитывается с помощью интерполяционного приема.

X_н, Х_в- нижняя и верхняя границы медианного интервала.

åf/2 порядковый номер медианы;

S_m_e_-₁ частота, накопленная до медианного интервала;

S_m_e частота, накопленная по медианный интервал;

f_m_e частота медианного интервала .

Для характеристики структуры различных явлений применяют квартили и децели.

Средняя арифметическая является исходной формой других более сложных средних. Выразить единый смысл различных видов средних можно формулой степенной средней.

Где m-показатель степени средней;

n-показатель вариации.

m=1-средняя арифметическая;

m=2-средняя квадратическая;

m=3-средняя кубическая;

m=-1-средняя гармоническая;

m=0-средняя геометрическая.

Соотношение средних величин определяется показателями степени:

Хкуб>Хквад>Харифм>Хгеом>Хгармон - правило мажорантности средних величин.

Лекция 4