Множество рациональных дробей

Пусть но . Такой многочлен называется многочленом с действительными коэффициентами.

Лемма 5. Если − корень многочлена с действительными коэффициентами, то − также корень .

Доказательство. Так как − корень многочлена применяя комплексное сопряжение, получаем

■

Из леммы 5 если то из Если то − многочлен с действительными коэффициентами, так как

Лемма 6. Если − корень кратности многочлена с действительными коэффициентами, то − тоже −кратный корень .

Доказательство. Пусть − −кратный корень и пусть . Тогда , где Отсюда имеем где

Многочлен − многочлен с действительными коэффициентами как частное двух многочленов с действительными коэффициентами и определяется однозначно. Таким образом, что противоречит лемме 5 не может быть больше . Аналогично, не может быть меньше ■

Лемма 7. Любой многочлен с действительными коэффициентами нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

Определение 9. Многочлен , называется неприводимым над С, если его нельзя представить в виде произведения многочленов из , степени которых меньше . Аналогично вводятся неприводимые многочлены над множеством действительных чисел .

Примеры. 1) Неприводимыми над являются лишь многочлены вида , .

2) Неприводимые многочлены над имеют вид , , , и .

Теорема 9.Для всякого имеет место разложение на неприводимые множители вида

(6)

где , Это разложение единственно с точностью до перестановки сомножителей.

Доказательство. Пусть Рассмотрим многочлен над с теми же коэффициентами. Согласно леммам 5 и 6 его корни можно расположить в последовательности: где Согласно следствию 1 к ОТА, имеем:

Полагая имеем для получим (6).

Для доказательства единственности заметим, что правая часть (6) равна для . Но набор неприводимых множителей определяется корнями разложение единственно. ■

Множество рациональных дробей

1⁰. Эвристические соображения.

В анализе изучаются дробно-рациональные функции вида , где − многочлены. Далее будем рассматривать как формальные выражения. При этом используем обычные формулы для сложения: