Характеристики случайных величин

Для каждого значения x случайной величины X существует вероятность P(X<x)того, что X меньше x. Зависимость F(x)= P(X<x)называется функцией распределения или функцией вероятности случайной величины X. Функция F(x)в пределах изменения случайной величины изменяется от 0 до 1.

Если случайной величиной X является наработка до отказа, то функция распределения этой величины равна вероятности возникновения отказа Q(x) в течение наработки x:

F(x) = P(X<x) = Q(x).

Вероятность безотказной работы P(x), т.е. вероятность P(X³x) того, что наработка X до отказа больше или равна значению x:

Р(x) = P(X³x) = 1 – Q(x) = 1 – F(x),

Производная от функции распределения F(x) по переменной x называется плотностью распределения f(x) случайной величины X:

В теории надежности величину f(x)называют плотностью вероятности. Площадь под кривой f(x) на заданном интервале значений случайной величины равна вероятности попадания случайной величины в этот интервал.

Значения характеристик, полученные по результатам испытаний или эксплуатации, называют статистическими оценками.

Основной характеристикой случайной величины X является математическое ожидание M_x, величины X.С увеличением числа опытов среднее значение случайной величины стремится к ее математическому ожиданию. Для дискретной случайной величины ее среднее значение определяется по формуле:

или ,

где x_i – значение величины X при i-ом наблюдении; N – общее число наблюдений; g_j – число одинаковых значений x_j; Z – число отличающихся друг от друга значений x_j случайной величины X.

Математическое ожидание для непрерывных величин (вероятностная трактовка) определяется по формуле:

а для дискретных величин (статистическая трактовка) по формуле:

где р_j – вероятность появления значения x_j.

Дисперсия (рассеяние) D_x случайной величины – это величина, характеризующая отклонение случайной величины x от ее математического ожидания M_x. Она равна математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. В вероятностной трактовке:

В статистической трактовке:

,

где x_i; – значение величины X при i-ом наблюдении; N – общее число наблюдений; р_j – вероятность появления значения x_j; Z – число отличающихся друг от друга значений x_j случайной величины X.

Оценка дисперсии случайной величины – среднее значение квадрата отклонения этой величины от ее среднего значения:

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Другая характеристика рассеяния случайной величины – среднее квадратическое отклонение s_x – имеет ту же размерность, что и случайная величина. Она равна корню квадратному из дисперсии:

Для оценки рассеяния с помощью безразмерной величины используют коэффициент вариации:

Квантилью называют значение х случайной величины Х, соответствующее заданной вероятности P(Х<x).

Квантиль, соответствующая вероятности 0,5 называется медианой. Площадь под графиком функции плотности распределения делится медианой пополам.

Модой случайной величины X называют наиболее вероятное значение этой величины.