Для каждого значения x случайной величины X существует вероятность P(X<x)того, что X меньше x. Зависимость F(x)= P(X<x)называется функцией распределения или функцией вероятности случайной величины X. Функция F(x)в пределах изменения случайной величины изменяется от 0 до 1.
Если случайной величиной X является наработка до отказа, то функция распределения этой величины равна вероятности возникновения отказа Q(x) в течение наработки x:
F(x) = P(X<x) = Q(x).
Вероятность безотказной работы P(x), т.е. вероятность P(X³x) того, что наработка X до отказа больше или равна значению x:
Р(x) = P(X³x) = 1 – Q(x) = 1 – F(x),
Производная от функции распределения F(x) по переменной x называется плотностью распределения f(x) случайной величины X:
В теории надежности величину f(x)называют плотностью вероятности. Площадь под кривой f(x) на заданном интервале значений случайной величины равна вероятности попадания случайной величины в этот интервал.
Значения характеристик, полученные по результатам испытаний или эксплуатации, называют статистическими оценками.
Основной характеристикой случайной величины X является математическое ожидание Mx, величины X.С увеличением числа опытов среднее значение случайной величины стремится к ее математическому ожиданию. Для дискретной случайной величины ее среднее значение определяется по формуле:
или ,
где xi – значение величины X при i-ом наблюдении; N – общее число наблюдений; gj – число одинаковых значений xj; Z – число отличающихся друг от друга значений xj случайной величины X.
Математическое ожидание для непрерывных величин (вероятностная трактовка) определяется по формуле:
а для дискретных величин (статистическая трактовка) по формуле:
где рj – вероятность появления значения xj.
Дисперсия (рассеяние) Dx случайной величины – это величина, характеризующая отклонение случайной величины x от ее математического ожидания Mx. Она равна математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. В вероятностной трактовке:
В статистической трактовке:
,
где xi; – значение величины X при i-ом наблюдении; N – общее число наблюдений; рj – вероятность появления значения xj; Z – число отличающихся друг от друга значений xj случайной величины X.
Оценка дисперсии случайной величины – среднее значение квадрата отклонения этой величины от ее среднего значения:
Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Другая характеристика рассеяния случайной величины – среднее квадратическое отклонение sx – имеет ту же размерность, что и случайная величина. Она равна корню квадратному из дисперсии:
Для оценки рассеяния с помощью безразмерной величины используют коэффициент вариации:
Квантилью называют значение х случайной величины Х, соответствующее заданной вероятности P(Х<x).
Квантиль, соответствующая вероятности 0,5 называется медианой. Площадь под графиком функции плотности распределения делится медианой пополам.
Модой случайной величины X называют наиболее вероятное значение этой величины.