Расчет величины случайной погрешности многократных измерений.

Для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. В результате проведенных измерений мы получили значений величины :

x₁, x₂, x₃, ... x_n. (1.4)

Этот ряд значений величины x получил название выборки. Имея такую выборку, мы можем дать оценку результата измерений. Величину, которая будет являться такой оценкой, мы обозначим . Но так как это значение оценки результатов измерений не будет представлять собой истинного значения измеряемой величины, необходимо оценить его ошибку. Предположим, что мы сумеем определить оценку ошибки Δx . В таком случае мы можем записать результат измерений в виде

х = ± Δx. (1.5)

Так как оценочные значения результата измерений и ошибки Δx не являются точными, запись результата измерений должна сопровождаться указанием его надежности P. Под надежностью или доверительной вероятностью понимают вероятность того, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале, указанном записью (3). Сам этот интервал называется доверительным интервалом.

Например, измеряя длину некоторого отрезка, окончательный результат мы записали в виде

l = (8.34 ± 0.02) мм, (P = 0.95). (1.6)

Это означает, что из 100 шансов – 95 за то, что истинное значение длины отрезка заключается в интервале от 8.32 до 8.36 мм .

Таким образом, задача заключается в том, чтобы, имея выборку измерений, найти оценку результата измерений , его ошибку Δx и надежность P.

Эта задача может быть решена с помощью теории вероятностей и математической статистики.

В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются нормальному закону распределения, установленного Гауссом. Нормальный закон распределения ошибок выражается формулой

, (1.7)

где Δx – отклонение от величины истинного значения;

σ – истинная среднеквадратичная ошибка;

σ ²– дисперсия, величина которой характеризует разброс случайных величин.

Как видно из формулы, функция y(x)имеет максимальное значение при x=0 , кроме того, она является четной.

Рис.1.4. Кривая нормального распределения Гаусса.

.

На рис.1.4 показан график этой функции. Площадь фигуры, заключенной между кривой, осью Δx и двумя ординатами из точек Δx₁ и Δx₂ (заштрихованная площадь) численно равна вероятности, с которой любой отсчет попадет в интервал (Δx₁,Δx₂) .

Поскольку кривая распределена симметрично относительно оси ординат, можно утверждать, что равные по величине, но противоположные по знаку ошибки равновероятны. А это дает возможность в качестве оценки результатов измерений взять среднее значение всех элементов выборки:

(1.8)

где – n число измерений.

Если в одних и тех же условиях проделано n измерений, то наиболее вероятным значением измеряемой величины будет ее среднее значение (арифметическое). Величина стремится к истинному значению x_и измеряемой величины при n → ∞.

Средней квадратичной ошибкой отдельного результата измерения называется величина

(1.9)

Она характеризует ошибку каждого отдельного измерения. При n → ∞ S стремится к постоянному пределу σ:

σ = lim S.
_{n → ∞} (1.10)

С увеличением σ увеличивается разброс отсчетов, т.е. становится ниже точность измерений.

Среднеквадратичной ошибкой среднего арифметического называется величина

(1.11)

Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа измерений.

Ошибка характеризует точность, с которой получено среднее значение измеренной величины . Результат записывается в виде:

х = ± Δx. (1.12)

Эта методика расчета ошибок дает хорошие результаты (с надежностью 0.68) только в том случае, когда одна и та же величина измерялась не менее 30 – 50 раз.

В 1908 году Уи́льям Си́ли Го́ссет (William Sealy Gosset), известный учёный-статистик, более известный под своим псевдонимом Стьюдент, показал, что статистических подход справедлив и при малом числе измерений. Распределение Стьюдента при числе измерений n → ∞ переходит в распределение Гаусса, а при малом числе отличается от него.

Для расчета абсолютной ошибки при малом количестве измерений вводится специальный коэффициент, зависящий от надежности P и числа измерений n, называемый коэффициентом Стьюдента t. При введении этого коэффициента

Опуская теоретические обоснования его введения, заметим, что

Δx_t = · t, (1.13)

где Δx_t – абсолютная ошибка для данной доверительной вероятности; – среднеквадратичная ошибка среднего арифметического.

Коэффициенты Стьюдента приведены в приложении 1.

Из сказанного следует:

1. Величина среднеквадратичной ошибки позволяет вычислить вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в любой интервал вблизи среднего арифметического.

2. При n → ∞ → 0, т.е. интервал, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение х_и, стремится к нулю с увеличением числа измерений. Казалось бы, увеличивая n, можно получить результат с любой степенью точности. Однако точность существенно увеличивается лишь до тех пор, пока случайная ошибка не станет сравнимой с систематической. Дальнейшее увеличение числа измерений нецелесообразно, т.к. конечная точность результата будет зависеть только от систематической ошибки. Зная величину систематической ошибки, нетрудно задаться допустимой величиной случайной ошибки, взяв ее, например, равной 10% от систематической. Задавая для выбранного таким образом доверительного интервала определенное значение P (например, P = 0.95), нетрудно нейти необходимое число измерений, гарантирующее малое влияние случайной ошибки на точность результата.

Для этого удобнее воспользоваться таблицей приложения 2, в которой интервалы заданы в долях величины σ, являющейся мерой точности данного опыта по отношению к случайным ошибкам.

Часть коэффициентов Стьюдента, с выделенным столбцом для надежности Р=95% ,приведена в табл.1.6.

Коэффициенты Стьюдента Таблица 1.6

При обработке результатов многократных прямых измерений следующий порядок операций:

1. Результат каждого измерения запишите в таблицу.

2. Вычислите среднее значение из n измерений

(1.14)

3. Найдите погрешность отдельного измерения

(1.15)

4. Вычислите квадраты погрешностей отдельных измерений

(Δx ₁)², (Δx ₂)², ... , (Δx _n)². (1.16)

5. Определите среднеквадратичную ошибку среднего арифметического

. (1.17)

6. Задайте значение надежности (обычно берут P = 0.95).

7. Определите коэффициент Стьюдента t для заданной надежности P и числа произведенных измерений n.

8. Найдите доверительный интервал (погрешность измерения)

Δx_t = · t. (1.18)

Если величина погрешности результата измерения Δx окажется сравнимой с величиной погрешности прибора Δx_п , то в качестве границы доверительного интервала возьмите:

(1.19)

Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую ошибку отбросьте.

9. Окончательный результат запишите в виде

. (1.20)

10. Оцените относительную погрешность результата измерений

(1.21)

Рассмотрим на числовом примере применение приведенных выше формул.

Пример. Измерялся микрометром диаметр d стержня (систематическая ошибка измерения равна 0.005 мм ). Результаты измерений заносим во вторую графу таблицы, находим , и в третью графу этой таблицы записываем разности , а в четвертую – их квадраты их разности (табл. 1.7).

Таблица 1.7

n	d, мм
	4.02	+ 0.01	0.0001
	3.98	- 0.03	0.0009
	3.97	- 0.04	0.0016
	4.01	+ 0 .00	0.0000
	4.05	+ 0.04	0.0016
	4.03	+ 0.02	0.0004
Σ	24.06	–	0.0046

(1.22)

(1.23)

Задавшись надежностью P = 0.95, по таблице коэффициентов Стьюдента для шести измерений найдем t = 2.57. Абсолютная ошибка найдется по формуле (10).

Δd = 0.01238 · 2.57 = 0.04 мм. (1.24)

Сравним случайную и систематическую ошибки:

, (1.25)

следовательно, δ = 0.005 мм можно отбросить.

Окончательный результат запишем в виде:

d = (4.01 ± 0.04) мм при Р = 0.95. (1.26)

(1.27)

Если измеряемая величина А является функцией нескольких пе­ременных: A=F(x, y,...,t), то абсолютная погрешность результата косвенных измерений

(1.29)

Частные относительные погрешности косвенного измерения опреде­ляются по формулам

…. и так далее. (1.30)

Относительная погрешность результата измерений

(1.31)

Грубая погрешность (промах) – это случайная погрешность результата отдельного наблюдения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда. Они, как правило, возникают из-за ошибок или неправильных действий оператора (его психофизиологического состояния, неверного отсчёта, считывания показаний с соседней шкалы прибора, ошибок в записях или вычислениях, неправильного включения приборов или сбоев в их работе и др.). Возможной причиной возникновения промахов также могут быть кратковременные резкие изменения условий проведения измерений. Если промахи обнаруживаются в процессе измерений, то результаты, их содержащие, отбрасывают. Однако чаще всего промахи выявляют только при окончательной обработке результатов измерений с помощью специальных статистических критериев.

В зависимости от причин возникновения различают инструментальные, методические и субъективные погрешности.

Инструментальная погрешность – погрешность, присущая самому средству измерений, т.е. тому прибору или преобразователю, при помощи которого выполняется измерение. Причинами инструментальной погрешности могут быть несовершенство конструкции средства измерений, влияние окружающей среды на его характеристики, деформация или износ деталей прибора и т.п.

Методическая погрешность появляется вследствие несовершенства метода измерения; несоответствия измеряемой величины и её модели, принятой при разработке средства измерения; влияния средства измерений на объект измерения и процессы, происходящие в нём. Отличительной особенностей методических погрешностей является то, что они не могут быть указаны в нормативно-технической документации на средство измерения, поскольку от него не зависят, а должны определяться оператором в каждом конкретном случае.

Субъективная (личная) погрешность измерения обусловлена погрешностью отсчёта оператором показания по шкалам средства измерений, диаграммам регистрирующих приборов. Они вызываются состоянием оператора, его положением во время работы, несовершенством органов чувств, эргономическими свойствами средства измерений. Характеристики субъективной погрешности определяют на основе нормированной номинальной цены деления шкалы измерительного прибора (или диаграммной бумаги регистрирующего прибора) с учётом способностей "среднего оператора" к интерполяции в пределах деления шкалы. Эти погрешности уменьшаются по мере совершенствования приборов, например: применение светового указателя в аналоговых приборах устраняет погрешность вследствие параллакса (Параллакс (от греч. parállaxis — отклонение), видимое изменение относительных положений предметов вследствие перемещения глаза наблюдателя) применение цифрового отсчёта исключает субъективную погрешность.

Объективная погрешность измерения – погрешность, не зависящая от личных качеств человека, производящего измерение.

По влиянию внешних условий различают основную и дополнительную погрешности средства измерений.

Основной называется погрешность средства измерений, определяемая в нормальных условиях его применения. Для каждого средства измерений в нормативно-технических документах оговариваются условия эксплуатации – совокупность влияющих величин (температура окружающей среды, влажность, давление, напряжение, частота питающей сети и др.), при которых нормируется его погрешность (влияющая величина – это физическая величина, не измеряемая данным средством измерений, но оказывающая влияние на его результаты).

Дополнительной называется погрешность средства измерений, возникающая вследствие отклонения какой-либо из влияющих величин, т.е. дополнительная погрешность, увеличивающая общую погрешность прибора, возникает, если прибор работает в условиях, отличных от нормальных.

В зависимости от характера изменения величины погрешности при изменении измеряемой величины погрешности делятсяна аддитивные и мультипликативные.

Аддитивные погрешности обусловлены смещением статической характеристики прибора вверх или вниз (вправо или влево), например из-за смещения шкалы прибора (дрейфа нуля), трения в опорах и т.д. Аддитивная погрешность не зависит от значения измеряемой величины х, т.е. постоянна по всей шкале прибора.

Аддитивные погрешности преобладают у большинства аналоговых приборов.

Мультипликативные погрешности возникают из-за погрешностей задания передаточного коэффициента k статической характеристики y = kx. Мультипликативная погрешность зависит от значения измеряемой величины и увеличивается к концу шкалы прибора.

Мультипликативная погрешность (при выражении её в виде абсолютной погрешности) пропорциональна значению измеряемой величины.

Мультипликативные погрешности преобладают у приборов, относящихся к масштабирующим преобразователям (шунты, добавочные сопротивления, усилители, делители, трансформаторы и т.п.).

Существуют приборы, у которых аддитивные и мультипликативные погрешности соизмеримы. К этому классу приборов относятся цифровые приборы.