Принятие решений в условиях полной неопределенности

Внешняя среда (природа) может находиться в одном из множества возможных состояний. Будем считать, что множество состояний конечно и состояния можно пронумеровать. Пусть S_i - состояние природы, при этом i= 1,…,n, где n - число возможных состояний. Все возможные состояния известны, не известно только, какое состояние будет иметь место в условиях, когда планируется управленческое решение.

Будем считать, что множество управленческих решений (планов) R_j также конечно и равно m. Реализация R_j плана в условиях, когда природа находится в S_i состоянии, приводит к определенному результату, который можно оценить, введя количественную меру. В качестве этой меры могут служить выигрыши от принимаемого решения (плана); потери от принимаемого решения, а также полезность, риск и другие количественные критерии.

Данные, необходимые для принятия решения в условиях неопределенности, обычно задаются в форме матрицы, строки которой соответствуют возможным действиям (управленческим решениям) R_j, а столбцы - возможным состояниям природы S_i (таблица 8.3). Допустим, что каждому R_j-му действию и каждому возможному S_i-му состоянию природы соответствует результат (исход) V_ji.

Таблица 8.3

Следовательно, математическая модель задачи принятия решения определяется множеством состояний {S_i},множеством планов (стратегий) {R_j} и матрицей возможных результатов ║V_ji║.

Риск - мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Элементы матрицы рисков ║r_ji║ связаны с элементами матрицы выигрышей следующим соотношением

r_ji =V_i-V_ji, (8.6)

где V_i=max V_ji - максимальный элемент в столбце i матрицы полезности.

^j

Если матрица возможных результатов ║V_ji║ представляет собой матрицу потерь (затрат), то элементы матрицы рисков ║r_ji║ следует определять по формуле

r_ji=V_ji-V_i, (8.7)

где V_i=min V_ji- минимальный элемент в столбце i матрицы потерь.

^j

Непосредственный анализ матрица выигрышей ║V_ji║ или рисков ║r_ji║ не позволяет в общем случае принять решение по выбору оптимальной стратегии. Для принятия оптимальных решений в условиях неопределенности используются ряд критериев: Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица.

Критерий Лапласа.Этот критерий опирается на «принцип недостаточного основания» Лапласа, согласно которому все состояния природы S_i,i= 1,…n полагаются равновероятными. Каждому состояниюS_iставится вероятность q_i, определяемая по формуле

q_i= 1 / n.

Для принятия решения для каждой стратегииR_j вычисляют среднее арифметическое значение выигрыша

_n

M_j(R) = (1 / n)∙∑ V_ji.

ⁱ⁼¹

Среди M_j(R)выбирают максимальное значение, которое и будет соответствовать оптимальной стратегии R^*_j. Другими словами, находится стратегия R^*_j, соответствующая

_n

max {(1 / n) ∙ ∑ V_ji}.

^{Rj i=1}

Если в исходной задаче матрица возможных результатов представлена матрицей рисков ║r_ji║, то критерий Лапласа принимает следующий вид

_n

min {(1 / n) ∙ ∑ r_ji}.

^{Rj i=1}

Критерий Вальда(минимаксный или максиминный критерий).Применение данного критерия не требует знания вероятностей состояний S_i. Этот критерий опирается на принцип наибольшей осторожности, поскольку он основывается на выборе наилучшей из наихудших стратегий R_j.

Если в исходной матрице по условию задачи результат V_ji представляет потери лица, принимающего решения, то при выборе оптимальной стратегии используется минимаксный критерий. Для определения оптимальной стратегии R_j необходимо в каждой строке матрицы результатов найти наибольший элемент max_i{V_ji}, а затем выбирается стратегия R_j (строка j), которой будет соответствовать наименьший элемент из этих наибольших элементов, то есть стратегия, определяющая результат, равный

W=min max{V_ji}.

^{j i}

Если в исходной матрице по условию задачи результат V_ji представляет выигрыш лица, принимающего решения, то при выборе оптимальной стратегии используется максиминный критерий. Для определения оптимальной стратегии R_j в каждой строке матрицы результатов находят наименьший элемент min_j{V_ji},а затем выбирается стратегия R_j (строка j), которой будут соответствовать наибольшие элементы из этих наименьших элементов, то есть стратегия, определяющая результат, равный

W=max min{V_ji}.

^{j i}

Примечание. Минимаксный критерий Вальда иногда приводит к нелогичным выводам из-за своей чрезмерной «пессимистичности». Пессимистичность этого критерия исправляет критерий Сэвиджа.

Критерий Сэвиджаиспользует матрицу рисков ║r_ji║. Элементы данной матрицы можно определять по формулам (8.6) и (8.7), которые перепишем в следующем виде

r_ji = max{V_ji} -V_ji, если V - выигрыш;

^j

r_ji = V_ji - min{V_ji}, если V - потери.

^j

Это означает, что r_ji есть разность между наилучшим значением в столбцеi и значениями V_ji при том же i. Отметим, что независимо от того, является ли V_ji доходом или затратами, r_ji в обоих случаях определяет величину потерь лица, принимающего решения. Следовательно, можно применять к r_ji только минимаксный критерий.

Критерий Сэвиджа рекомендует в условиях неопределенности ту стратегию R_j, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации (когда риск максимален). Применение критерия Сэвиджа позволяет любыми путями избежать большого риска при выборе стратегии, а значит, избежать большого проигрыша (потерь).

Критерий Гурвицаоснован на следующих двух предположениях: природа может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью (1- α) и в самом выгодном состоянии с вероятностью α, где α -коэффициент доверия. Если результат V_ji - прибыль, то критерий Гурвица записывается так

W=max[α∙max V_ji+ (1 -α)∙min V_ji].

^{j i i}

Когда V_ji - представляет потери (затраты), то выбирают действие, дающее

W =min[α∙min V_ji+ (1 - α)∙max V_ji].

^{j i i}

Если α= 0, получим пессимистический критерий Вальда. Если α= 1, то приходим к решающему правилу вида max_j max_i V_ji или к так называемой стратегии «здорового оптимизма», то есть критерий слишком оптимистичный.

Критерий Гурвица устанавливает баланс между случаями крайнего пессимизма и крайнего оптимизма путем взвешивания обоих способов поведения соответствующими весами (1 - α) и α,где 0 ≤ α≤ 1. Значения αможет определяться в зависимости от склонности лица, принимающего решения, к пессимизму или к оптимизму. При отсутствии ярко выраженной склонности величина α= 0.5представляется наиболее разумной.

Выбор критерия принятия решения в условиях неопределенности является наиболее сложным и ответственным этапом в исследовании операций. При этом не существует каких либо общих советов или рекомендаций. Выбор критерия должно производить лицо, принимающее решение, с учетом конкретной специфики решаемой задачи, опираясь на опыт и интуицию.