Привлекательность графического способа решения задач линейного программирования заключается в наглядности и в отсутствии необходимости программного обеспечения и ЭВМ. Этот способ целесообразен только в следующих случаях:
· если модель имеет две переменные и ограничения выражены неравенствами (наиболее распространенный случай);
· если модель имеет более двух переменных, но при условии, что в их канонической записи содержится не более двух свободных переменных. Обычно в этом случае исходную задачу преобразуют методом Жордана-Гаусса.
Запишем задачу линейного программирования с двумя переменными:
· целевая функция: Zmax=c1∙x1+c2∙x2; (7.25)
· ограничения:a11∙x1+a12∙x2≤b1;
a21∙x1+a22∙x2≤b2; (7.26)
…
am1∙x1+am2∙x2≤bm;
x1≥ 0;x2≥ 0. (7.27)
Каждое из неравенств (7.26) и (7.27) системы ограничений определяет полуплоскость соответственно с граничными прямыми ai1∙x1+ai2∙x2=bi; (для i= 1,…,m); x1= 0; x2= 0. В том случае, если система неравенств 7.26) и (7.27) совместна, область ее решений - это множество точек, принадлежащих всем указанным полуплоскостям. Так как множество точек пересечения данных полуплоскостей - выпуклое, то областью допустимых решений является выпуклое множество, которое принято называть многоугольником решений.Стороны этого многоугольника лежат на прямых, уравнения которых получаются из исходной системы ограничений заменой знаков неравенств на знаки равенств.
Очевидно, что в частных случаях областью допустимых решений системы неравенств (7.26) и (7.27) могут быть:
· выпуклый многоугольник;
· выпуклая многоугольная неограниченная область;
· пустая область;
· луч;
· отрезок;
· единственная точка.
Целевая функция (7.25) определяет на плоскости семейство параллельных прямых, каждой из которых соответствует определенное значение Z.
Вектор С= (c1;c2) с координатами c1 и c2, перпендикулярный к этим прямым, указывает направление наискорейшего возрастания Z, а противоположный вектор - направление убывания Z.
Если в одной и той же системе координат изобразить область допустимых решений системы неравенств (7.26) и (7.27) и семейство параллельных прямых (6.25), то задача определения максимума функции Z сведется к нахождению в допустимой области точки, через которую проходит прямая из семейства Z=const, и которая соответствует наибольшему значению Z. Эта точка существует только тогда, когда многоугольник решений не пуст и на нем целевая функция ограничена сверху. При указанных условиях в одной из вершин многоугольника решений целевая функция принимает максимальное значение.
Для определения данной вершины построим линию уровня Z=c1∙x1+c2∙x2 = 0, проходящую через начало координат и перпендикулярную вектору С= (c1;c2), и будем передвигать ее в направлении вектора С= (c1;c2)до тех пор, пока она не коснется последней крайней (угловой) точки многоугольника решений. Координаты указанной точки и определяют оптимальное решение данной задачи. Пример графического решения описанной задачи представлен на рис. 7.1.
Рис. 7.1. Оптимум функции Z достижим в точке A
На рис. 7.2 представлен случай, когда максимальные значения целевая функция Z принимает в любой точке отрезка AB. На рис. 7.3 изображен случай, когда максимум недостижим.
Рис. 7.2. Оптимум Z достигается в любой точке линии [AB]
Рис. 7.3. Оптимум Z недостижим
При практическом решении задач линейного программирования на основе их графической интерпретации необходимо последовательно выполнить следующие действия:
· построить прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях (7.26) и (7.27) знаков неравенств на знаки равенств;
· найти полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи;
· определить многоугольник решений;
· построить вектор С= (c1;c2);
· построить прямую Z=c1∙x1+c2∙x2 = 0, проходящую через начало координат и перпендикулярную вектору С;
· передвигать прямую Z=c1∙x1+c2∙x2 в направлении вектора C, в результате чего, либо находят точку (точки), в которых целевая функция принимает максимальное значение, либо устанавливают неограниченность функции сверху на множестве планов;
· определить координаты точки максимума функции и вычислить значение целевой функции в этой точке.
