Моделирование потока событий рассмотрим применительно к технической системе, "формирующей" при функционировании поток отказов. Будем считать, что техническая система состоит из совокупности последовательно соединенных элементов (отказ любого из них ведет к отказу всей системы).
Рассмотрим последовательность замен некоторого конкретного элемента Z. Эксплуатация каждого нового элемента наименования Z) начинается с момента окончания срока службы предыдущего. Первый элемент отрабытывает время Δt1, второй - Δt2, третий - Δt3 и т.д. Случайная ситуация, сложившаяся в k-ом опыте эксплуатации элемента Z (при мгновенной замене элемента) показана на рис. 6.2.
Рис. 6.2. Временная эпюра случайной ситуации в k-ом опыте
Из рис. 6.2 следует, что система начинает свою работу в момент времени t= 0 и, отработав случайное время Δt1k, выходит из строя в момент t1k = Δt1k.В этот момент система мгновенно восстанавливается и снова работает случайное время Δt2k.По истечении некоторого времени система вновь выходит из строя в момент t2k= Δt1k+Δt2k=t1k +Δt2kи вновь мгновенно восстанавливаетcя.
Моменты отказов и восстановлений образуют в каждом k-ом опыте (испытании) ряд чисел по следующему правилу:
t1k= Δt1k,
t2k= Δt1k+Δt2k=t1k+Δt2k,
t3k= Δt1k+Δt2k+Δt3k=t2k +Δt3k,
…
tpk= Δt1k+Δt2k… +Δtpk=t(p - 1)k+Δtpk,
или
pp - 1
tpk = ∑ Δtik=∑ Δtik+Δtpk,
i =1 i = 1
где tik -наработка элемента до i-го отказа в k-ом опыте, (i= 1,…,p;k= 1,…, N);
Δtik -наработка элемента между (i -1)-ым и i-ым отказами в k-ом опыте, (i =1,…,p;k= 1,…,N).
Числа t1k,t2k,…,tpkобразуют случайный поток "отказов - мгновенных восстановлений". В общем случае моделируемый процесс может быть двух типов:
· простой, при котором все функции распределения наработок между отказами Fi(t) одинаковы;
· сложный, при котором все функции распределения наработок между отказами Fi(t) различны.
Основными характеристиками моделируемого процесса является интегральная функция Ω(t) и дифференциальная функция (плотность распределения) ω(t), определяемые по общим формулам:
∞
Ω(t) =∑ Fn(t); (6.2)
n = 1
∞
ω(t) =∑ fn(t), (6.3)
n = 1
где fn(t) и Fn(t) - соответственно, плотность и функция распределения наработки до n-го отказа-восстановления.
Расчет функций (6.2) и (6.3) проводится в следующем порядке. По известным законам распределения с использованием формул пересчета (таблица 5.1) моделируются массивы случайных величин Δt ikмежду (i- 1)-ым и i-ым отказами. Размерность каждого массива равна N. Далее вычисляются значения наработок до i-го отказа t ik по следующим формулам:
t ik=t (i - 1)k+Δt ik;
t 1k=Δt 1k,
где i - номер отказа, i =1,…,p;
k - номер реализации при моделировании, k= 1,…,N;
p - максимальное число отказов элемента, получаемое в k-ой реализации случайного процесса.
Затем полученные случайные величины наработок t ik группируются по интервалам времени. Номера интервалов, в которые попадают моменты возникновения отказов t1k,t2k,…,t ik,…,tpk, определяются по формуле:
γ=int(t ik /Δt),
где int (t ik / Δ t) - наименьшее целое число, не меньшее (t ik / Δ t);
Δ t-величина интервала времени.
Окончательно функции ωj(t) и Ωj(t) потока отказов-восстановлений в j-ом интервале определяется по следующим формулам:
ωj(t) =nj/ (Δ t∙N);
hp
Ωj(t) =∑ ∑ nij,
j=1 i=1
где nij - число попаданий случайной наработки до i-го отказа t ik в j-ый интервал времени (j= 1,…,h) за N реализаций;
p
nj = ∑ nij; S1=n1;
i = 1
h p
∑ ∑ nij = н S2=n1+n2;
j=1 i=1
и ... Sh=n1+n2+…+nj+…+ nh,
здесь h - максимальное число интервалов времени.
Общую схему имитационного моделирования можно уяснить, рассматривая проблему моделирования СМО. Многочисленные допущения (упрощения), принятые в аппарате теории массового обслуживания в ряде случаев неприемлемы. Например, реальные системы имеют сложные переходные режимы, а входные и выходные потоки являются далеко не простейшими. В этих условиях машинная имитация входного потока заявок и процесса их обслуживания (выходного потока заявок) существенно повышает "качество" моделирования реальных СМО, так как упрощенные распределения этих потоков заменяются распределениями любой сложности.
Для имитационного моделирования СМО должны быть заданы следующие исходные данные:
· описание СМО (тип, параметры, критерии эффективности работы СМО);
· параметры закона распределения периодичности поступления требований в систему;
· параметры закона распределения времени пребывания требования в очереди (для СМО с ожиданием);
· параметры закона распределения времени обслуживания требований в СМО.
После формирования исходных данных выполняются этапы собственно имитационного моделирования СМО:
· вырабатывают равномерно распределенное случайное число ζ i;
· равномерно распределенные случайные числа преобразуют в величины с заданным законом распределения:
§ интервал времени между поступлениями требований в систему;
§ время ухода заявки из очереди (для СМО с ограниченной длиной очереди);
§ длительность времени обслуживания требования;
· определяют моменты наступления событий:
§ поступления требования на обслуживание;
§ уход требования из очереди;
§ окончание обслуживания требования в СМО;
· моделируют функционирование СМО в целом и накапливают статистические данные о процессе обслуживания;
· устанавливают новый момент поступления требования в систему и вычислительная процедура повторяется в соответствии, с изложенным выше;
· определяют показатели качества функционирования СМО путем обработки результатов моделирования средствами математической статистики.