Фрактальная графика

Фрактал— геометрическая фигура, обладающая следующими свойствами:

● Самоподобие при неограниченном увеличении. При любом масштабе получаем картинку, подобную начальной фигуре.

● Эта фигура должна иметь нетривиальную структуру (т.е. не линия и не точка), и при увеличении ни один фрагмент не должен вырождаться в монотонный.

Пример: ветка папоротника.

Способы задания:

1 Геометрический. Задается набор правил, которые по данному изображению позволяют построить изображение на следующей итерации. Пример: ломаная Коха. IFS — система интегрирующих функций. Позволяет по изображению А получить его кусочек А₁. При фрактальном сжатии по изображению строится IFS.

2 Алгебраический. Задается набором рекуррентных формул.

○ Пример: фрактал Мондельброта. Рассмотрим последовательность комплексных чисел {z_n}.

z₀ = 0

z_n+1 = z_n² + c

Для каждого с можем построить последовательность {z_n}, которая будет начинаться с некоторого N и |z_n|<a. N — количество операций для выхода из области.

А теперь — весёлые картинки:

Фрактал руки (n=3):

Трёхмерная графика

40. Координатный метод описания объектов. Обобщённые координаты. Матрицы преобразования координат

Основные параметры сцены:

● Расположение объектов

● Расположение источников освещения

● Расположение камеры

Простейшие манипуляции:

● Перемещение (x:=x+∆x; y:=y+∆y; z:=z+∆z)

● Поворот (вокруг z: x’ := x cos α + y sin α; y’ := -x sin α + y cos α; z’ := z)

● Масштабирование (x := k_xx)

● Отражение по оси: *(-1)

Некоторые преобразования приходится делать в несколько этапов. Например, увеличение сцены в определённом месте будет выполняться в три шага:

● Смещение начала координат в нужную позицию

● Изменение масштаба

● Возврат начала координат в исходное положение

Виды координат:

● декартовы (x, y, z)

● обобщённые (x, y, z, w) — позволяют задать бесконечно удалённые точки (при w=0)

Связь:

● (x, y, z, w)_об = (x_дек, y_дек, z_дек, 1)

● (x, y, z)_дек = (x_об, y_об, z_об) / w — не всегда возможно

Аффинное преобразование — преобразование, которое можно задать в виде:

A_2X2 ; или

Комбинацию аффинных преобразований можно представить как одно аффинное преобразование, матрица которого есть произведение матриц комбинируемых преобразований:

_● x₁ = M₁x₀

_● x₂ = M₂x₁

_● …

_● x_n = M_nx_n-1 = M_n(M_n-1x_n-2) = M_n(M_n-1(M_n-2x_n-3)) =...= (M_nM_n-1...M₁)x₀ = Mx₀

Примеры аффинных преобразований координат:

● Мировые → видовые;

● Проекционные → экранные.