Лекция 20. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ. ТЕОРЕМА Н. АБЕЛЯ.

Перейдем к рассмотрению рядов, членами которых являются функции, в частности, степенные функции.

Определение 1. Степенным рядом называется ряд вида:

где aи коэффициенты а₀,… ,а_n – постоянный.

При а=0 степенной ряд примет вид:

Определение 2.Совокупность значений x, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимостью степенного ряда.

Пример.Найти область сходимости.

1+x+ x² + … + xⁿ +…

Это геометрический рядq = x. Он сходится при то есть при или следовательно, область сходимости (−1; 1).

Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью теоремы Н. Абеля:

1. Если степенной ряд (2) сходится приx = x₀≠ 0, то он абсолютно сходится и при всех значениях x, удовлетворяет неравенству .

2. Если степенной ряд (2) расходится приx = x₁≠ 0, то он расходится и при всех значениях x, удовлетворяет неравенству .

Из теоремы Н. Абеля следует, что существует такое число R ≥ 0, что при всех ряд (2) сходится, а при расходится.

Число Rназывается радиусом сходимости степенного ряда, а интервал (−R; R) называется интервалом сходимости.

На концах интервала сходимости ряд (2) может, как сходится, так и расходится.

Для ряда (1) получим:

, то есть .Следовательно, интервал сходимости ряда (1) имеет вид: .

Радиус сходимости степенного ряда находится по формуле:

Пример 1.

Решение:

Тогда

Следовательно, (−2; 2) – интервал сходимости.

При ряд расходится, так как

То есть

Следовательно,при ряд расходится.

Пример 2.

Решение:

Тогда (−1;1) – интервал сходимости.

При x=1ряд расходится, как обобщенный гармонический.

При x=−1 получим знакочередующийся ряд.

На основании признака Лейбница он сходится, т.к.

Следовательно, область сходимости −1≤x˂1

Свойства степенных рядов