Пуассоновские потоки в СеМО. Теорема Бёрке

При исследовании СеМО важной задачей становится изучение вероятностных свойств потоков требований, уходящих после обслуживания из составляющих сеть узлов. Это связано с тем, что требования, уходящие из одних узлов сети, вообще говоря, вливаются в потоки требований, являющихся входящими для других узлов.

Рассмотрим сеть с двумя последовательно расположенными узлами (см. Рис.2.2).

Извне в узел 1 поступает простейший поток требований с интенсивностью l. Предположим, что в узле 1 имеется один обслуживающий прибор. Время обслуживания каждого требования имеет показательное распределение с параметром m. Чис­ло мест для ожидания не ограничено. Таким образом, узел 1 пред­ставляет собой систему обслуживания вида М|М|1. По окончании обслуживания в узле 1, каждое требование поступает на обслуживание единственный прибор, обслуживающий поступающие во второй узел требования в течение показательно распределенного случайного времени с интенсивностью m.

Определим вид распределения случайных интервалов времени между моментами поступления в узел 2 двух последовательных требований. Это распределение совпадает с распределением интервалов времени между соседними требованиями в потоке, выходящем из узла 1.

Таким образом, оказывается, что поток, входящий из системы 1, работающей в стационарном режиме, - простейший с тем же параметром l. Этот результат был получен Бёрке и называется теоремой Бёрке. Бёрке доказал и более общий результат утверждающий, что и в случав многоканальной марковской системы вида М|М|1 с пуассоновским входящим потоком требований с интенсивностью l имеет место такой же результат: поток требований, выходящий из системы M|M|m, работающей в стационарном режиме, является однородным пуассоновским потоком с тем же самым параметром l, что и у потока, входящего в эту систему.

Из теоремы Бёрке следует, что в нашем примере в узел 2 поступает пуассоновский поток требований. Значит, узел 2 работает в стационарном режиме как независящая от узла 1 система вида М|М|1. Очевидно, что и при соединении нескольких узлов, состоящих из многоканальных СMO марковского типа, в последовательную цепь будет иметь место свойство независимости отдельных узлов.

Из теоремы Бёрке и свойств наложения и расщепления простейших потоков вытекает, что в случае сети обслуживания без петель (в которой невозможно возвращение требования в ранее посещавшийся узел) с показательными распределениями, времени обслуживания, в узлы которой извне поступают независимые простейшие потоки требований, суммарные потоки требований, поступающие в каждый из узлов, - это однородные пуассоновские потоки. Поэтому совместное стационарное распределение вероятностей числа требований, находящихся в узлах сети, имеет мультипликативную форму, являясь произведением отдельных распределений, полученных независимо для каждого узла СеМО как системы М|М|m.

Можно показать, что в сетях с петлями потоки требований, поступающие в разные узлы, в общем случае не являются простейшими. Однако Джексон доказал, что и в этом случае каждый узел сети ведёт себя так, как если бы в него поступал независимый пуассоновский поток.

Лекция №6 Открытые экспоненциальные сети (Джексона)