Основные теоретические сведения и расчетные формулы

Брус, нагруженный пара­ми­ сил, плоскости действия которых пер­пендикулярны его оси, испытывает де­­фор­мацию кручения. Внутренним сило­вым фактором в по­перечном сечении бруса в этом случае является крутящий момент , ве­ли­чину которого опре­деляют методом сечений.

На основании этого метода можно сформулировать правило для опреде­ления крутящего момента в сечении бруса: крутящий момент в любом сечении бруса численно равен алгебраической сумме крутящих моментов, распо­ло­жен­ных по одну сторону от этого сечения; при этом крутящий момент, прило­женный к брусу, считается условно поло­жи­тель­ным, если при взгляде вдоль оси бруса с левого конца мы видим его нап­равленным по ходу часовой стрел­ки.

Размеры и форма поперечного сечения бруса в расчетах на кручение учи­ты­ваются двумя геометрическими характеристиками: полярным моментом ине­р­ции и полярным моментом сопротивления . Для круглого сечения они вы­­числяются по следующим формулам:

(3.1)

(3.2)

где d - диаметр сечения.

Крутящий момент вызывает в сечениях касательные напряжения , вычисляемых по формуле

, (3.3)

где - крутящий момент в сечении бруса;

- полярный момент инерции сечения;

- расстояние от центра тяжести сечения до точки, в которой опреде­ля­ются напряжения.

Условие прочности записывается в виде

(3.4)

где - максимальная по модулю величина крутящего момента, определяемого по эпюре ;

- полярный момент сопротивления;

[t] - допускаемое касательное напряжение.

Деформация при кручении характеризуется углом закручивания j(рад):

(3.5)

где l - длина бруса;
G - модуль сдвига (модуль упругости второго рода).

Угол закручивания на единице длины бруса называется относительным уг­лом закручивания и вычисляется по формуле

. (3.6)

Условие жесткости накладывает ограничение на величину отно­си­тель­но­го угла закручивания:

,

где [q] - допускаемый угол закручивания.

Условие жесткости с учетом формулы (3.6) имеет вид

. (3.7)

Задача

Для заданного бруса круглого сечения (рис. 7, а) определить величину момента X, при котором угол поворота свободного конца бруса равен нулю, по­строить эпюры крутящих моментов и углов закручивания, подобрать ди­аметр сечения по условию прочности и произвести проверку бруса на жесткость.

ДАНО : а =0,8 м; в=1,0 м; угол закручивания 1 град/м;
с=0,4 м; M₁=2 кН× м; M₂=0,9кН×м; [t]=40 МПа; G=8×10⁴ МПа.

1.Определение величи­ны неизвестного кру­тя­щего

момента Х.

Брус жестко заделан левым концом А, правый конец Е свободный. В сечениях В, С, и D при­ложены известные крутя­щие моменты. Для опре­деления неизвестного мо­мента Х используем усло­вие равенства нулю угла поворота сечения Е.

Угол поворота сечения Е относительно сечения А определяется как сумма углов закручивания отдельных участков:

(3.8)

Крутящие моменты , входящие в выражение (3.8), определяются по приведенному выше правилу.

Вычисления начинаем с незакрепленного конца:

(3.9)

Используя выражения (3.9) и сок­ра­щая на , приводим уравнение (3.8) к виду

.

Подставляя значения a , b , c (рис. 7, а.) и решая это уравнение, получаем Х = 0,34 кН×м.

Примечание: если значение Х получится со знаком минус, направ­ление кру­тящего момента задано неправильно. В данном примере X положителен, сле­довательно, направление кру­тя­­щего момента, показанное на рис.7, пра­ви­льно.