Анализ систем управления, корневой годограф

Анализ систем управления включает исследование устойчивости, качества, т.е. степени удовлетворения заданных характеристик качества, исследование динамической точности систем. Последнее особенно важно для следящих систем, в которых задающее воздействие - величина переменная во времени. Мы вкратце познакомимся с этими вопросами.

Основной принцип проектирования систем состоит в том, что система должна быть устойчивой.

Анализ устойчивости занимает исключительное положение. Кроме выяснения вопроса об устойчивости необходимо определить диапазоны варьирования параметров, в которых устойчивость сохраняется.

Чтобы быстро проследить поведение системы целесообразно использовать не точные вычисления, требующие много времени даже при использовании ЭВМ, а приближенные методы. Один из них метод корневого годографа.

Характеристическое уравнение замкнутой системы можно представить в виде

1 + H(р) = 1 + K y(р)/j(р) = j(р) + Ky(р) = 0 (6.1)

Совокупность точек р_i, удовлетворяющих уравнению (6.1) при различных К, образует корневой годограф системы.

Таким образом, корневой годограф это геометрическое место точек – значений корней характеристического уравнения системы при изменении скалярного параметра от 0 до бесконечности. В качестве скалярного параметра часто выступает неизвестный вначале коэффициент усиления. Передаточная функция замкнутой системы в соответствии с изложенным в 5.1.5. для соединения с обратной связью равна

H_з(p) = H_p(p) / [1 + H_p(p)H_oc(p)]

Её можно представить в виде (6.1)

j(p) + ry(p) (6.2)

где j , y - полиномы от р, а r - параметр. Полиномы можно представить в виде

j(p) = P_i (p - p_i) , i=1,2,...,n; y(p) = P_i(p - n_i), i=1,2,..,m (6.3)

где p_i , i=1,2,..,n - полюса разомкнутого контура, а n_i, i=1,2,...,m - его нули.

Корни (6.2) называют полюсами замкнутого контура. Пусть m £ n, в обратном случае можно поменять местами y, j и выбрать параметр 1/r.

Свойства корневого годографа - они используются и для его построения

1) Число корней многочлена (6.2) равно n . Каждый из них имеет свой непрерывный годограф при изменении r от -¥ до ¥.

2) Начало годографа при r = 0 в полюсах p_i,i=1,2,...,n. Это следует из того, что r = 0 корни (6.2 ) являются корнями j(р).

3) Поведение годографа. При r®±¥ m годографов стремятся к нулям n_i, i = 1,2,...,m. Остальные n - m годографов стремятся к бесконечности, т.к. корни (6.2) являются и корнями

r^-1 j(р) + y(р)

4) Асимптоты годографов n - m годографов, стремящихся к бесконечности, асимптотически приближаются к n - m прямым, которые составляют углы

(p + k2p)/ (n - m), k = 0, 1, .., n -m - 1, (6.4)

c положительной действительной осью при r®¥ и углы

k2p / (n - m), k = 0, 1, .., n -m - 1, (6.5)

при r® - ¥. Эти n - m асимптот пересекаются в одной точке на действительной оси, определяемой выражением

( å_iⁿ p_i - å_i^m n_i) / (n - m) (6.6)

5) Части годографа на действительной оси. Если r принимает только положительные значения, то любая часть действительной оси, справа от которой располагается нечетное количество полюсов и нулей на действительной оси, является частью корневого годографа. Если r принимает только отрицательные значения, то любая часть действительной оси, справа от которой на действительно оси лежит четное число полюсов и нулей, является частью корневого годографа.