Методы упрощения моделей

Мы уже отмечали, что модель желательно иметь как можно проще. Поэтому исходную модель, полученную из физических законов и отражающую реальные процессы в объекте во время его жизнедеятельности, целесообразно упростить, если это не противоречит целям решения.

Мы отмечали, что наиболее общей непрерывной моделью является (2.1.) Наметим возможный путь перехода от нее к самой простой из перечисленных нами непрерывных детерминированных моделей (2.7). Мы можем следовать той же последовательности, которая была намечена выше.

Допустим, что нам известны временные рамки, в которых эволюционирует объект. Пусть t₀ - начальный, а t - конечный момент времени интервала, представляющего интерес. Из анализа поведения во времени параметров модели (2.1) следует определить такие необязательно одинаковые полуинтервалы, открытые, например, справа

dt_i = t_i - t_i-1 i=1,2,..., t_i-1 £ t < t_i,

Можно допустить, что внутри этих интервалов с достаточной для решаемой задачи точностью модель изменяется несущественно и этими изменениями можно пренебречь, вследствие чего можно принять параметры объекта постоянными, равными их значениям при t_i-1. Тогда можно вычислить значения функций f = (f₁, f₂, ..., f_­n) при t_i, i = 0,1,2,....,n-1 и записать вместо одной нестационарной модели (2.1) последовательность стационарных моделей вида

, , i = 0, 1, 2, ....,n-1 (3.1)

Модель будет использоваться для всех значений t Î[t_i, t_i+1).

Следующий часто применяемый прием состоит в линеаризации нелинейной модели. Используются различные способы линеаризации. Рассмотрим один наиболее часто употребляемый и простой. Он базируется на использовании известного вам разложения функций в ряд Тейлора. Обычно заранее можно оценить в каком диапазоне будут изменяться входные величины, состояния и выходы объекта. Если диапазон широк, то его можно разбить на несколько более узких так, чтобы сохранить требуемую точность. Независимо от количества интервалов техника сохраняется и состоит в следующем. Возьмем некоторую точку, называемую рабочей, внутри интервала. Обозначим ее индексом 0, т.е. x₀,w₀.Т.к. (3.1) известно, то можно вычислить и .

Разложим (3.1) в ряд Тейлора в точке . Получим

(3.2)

где i=1,2…n – это номер временного интервала, на котором система стационарна, j=1,2…n, l=1,2…m.

Теперь если , (представляют собой якобианы), тогда каждому интервалу времени будут соответствовать свои .

Обозначим , .

Учитывая новые обозначения, перепишем (3.2) и получим линейный аналог или линейное приближение (3.1)

(3.3)

Видно, что (3.3) соответствует (2.7).