Классификация и характеристики отказов

По типу отказы подразделяются на:

Отказы функционирования (выполнение основных функций объектом прекращается, например, поломка зубьев шестерни);

Отказы параметрические (некоторые параметры объекта изменяются в недопустимых пределах, например, потеря точности станка).

По своей природе отказы могут быть:

Случайные, обусловленные непредусмотренными перегрузками, дефектами материала, ошибками персонала или сбоями системы управления и т. п.;

Систематические, обусловленные закономерными и неизбежными явлениями, вызывающими постепенное накопление повреждений: усталость, износ, старение, коррозия и т. п.

Основные признаки классификации отказов:

· Характер возникновения;

· Причина возникновения;

· Характер устранения;

· Последствия отказов;

· Дальнейшее использование объекта;

· Легкость обнаружения;

· Время возникновения.

Рассмотрим подробнее каждый из классификационных признаков:

n(t, t + t)

t, t + t

Следствия основных теорем Следствия основных теорем - формула полной вероятности (ФПВ) и формула Байеса находят широкое применение при решении большого числа задач.   Формула полной вероятности. Если по результатам опыта можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез) H₁, H₂, … H_n, представляющих полную группу несовместных событий (для которой P(i)=1), то вероятность события А, которое может появиться только с одной из этих гипотез, определяется:

(13)

где P(Hi) – вероятность гипотезы Hi; P(А| Hi) – условная вероятность события А при гипотезе Hi. Поскольку событие А может появиться с одной из гипотез H₁, H₂, … H_n, то А= АH₁ АH₂ … АH_n , но H₁, H₂, … H_n несовместны, поэтому При зависимости события А от появления гипотезы Hi P(AHi) = P(Hi)· P(А| Hi), откуда и следует выражение (13). Формула Байеса (формула вероятностей гипотез). Если до опыта вероятности гипотез H₁, H₂, … H_n были равны P(H₁), P(H₂), …, P(H_n), а в результате опыта произошло событие А, то новые (условные) вероятности гипотез вычисляются:

(14)

Доопытные (первоначальные) вероятности гипотез P(H₁), P(H₂), …, P(H_n) называются априорными, а послеопытные - P(H₁| А), … P(H_n| А) – апостериорными. Формула Байеса позволяет «пересмотреть» возможности гипотез с учетом полученного результата опыта. Доказательство формулы Байеса следует из предшествующего материала. Поскольку P(Hi А) = P(Hi)· P(А| Hi) = P(Hi)· P(Hi| А):  

(15)

откуда, с учетом (13), получается выражение (15). Если после опыта, давшего событие А, проводится еще один опыт, в результате которого может произойти или нет событие А₁, то условная вероятность этого последнего события вычисляется по (13), в которую входят не прежние вероятности гипотез P(Hi), а новые - P(Hi| А):  

(16)

Выражение (16) называют формулой для вероятностей будущих событий. ПОКАЗАТЕЛИ БЕЗОТКАЗНОСТИ: ВЕРОЯТНОСТЬ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ, ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОТКАЗОВ, ИНТЕНСИВНОСТЬ ОТКАЗОВ Вероятность безотказной работы (ВБР) Статистическая оценка ВБР (эмпирическая функция надежности) определяется:

(1)

отношением числа N(t) объектов, безотказно проработавших до момента наработки t, к числу объектов, исправных к началу испытаний (t = 0) - к общему числу объектов N. Оценку ВБР можно рассматривать как показатель доли работоспособных объектов к моменту наработки t. Поскольку N(t) = N - n(t), то ВБР по (1)

(2)

где(t) = n(t)/ N – оценка вероятности отказа (ВО). В статистическом определении оценка ВО представляет эмпирическую функцию распределения отказов. Так как события, заключающиеся в наступлении или не наступлении отказа к моменту наработки t, являются противоположными, то

(t)+

(t) = 1

(3)

Нетрудно убедиться, что ВБР является убывающей, а ВО – возрастающей функцией наработки. Действительно - в момент начала испытаний t = 0 число работоспособных объектов равно общему их числу N(t) = N(0) = N, а число отказавших - n(t) = n(0) = 0, поэтому (t) =(0) = 1, а (t) = (0) = 0; - при наработке t все объекты, поставленные на испытания, откажут, т. е. N() = 0, а n() = N, поэтому (t) = () = 0, а (t) =() = 1. Вероятностное определение ВБР

P(t) = P{T

t}.

(4)

  Таким образом, ВБР есть вероятность того, что случайная величина наработки до отказа T окажется не меньше некоторой заданной наработки t. Очевидно, что ВО будет являться функцией распределения случайной величины T и представляет из себя вероятность того, что наработка до отказа окажется меньше некоторой заданной наработки t:

Q(t) = P{T < t}.

(5)

Графики ВБР и ВО приведены на рис. 1. В пределе, с ростом числа N (увеличение выборки) испытываемых объектов, (t) и (t) сходятся по вероятности (приближаются по значениям) к P(t) и Q(t). Сходимость по вероятности представляется следующим образом:

(6)

Рис. 1   Практический интерес представляет определение ВБР в интервале наработки [t, t + t], при условии, что объект безотказно проработал до начала t интервала.Определим эту вероятность, используя теорему умножения вероятностей, и выделив следующие события: A = {безотказная работа объекта до момента t}; B = {безотказная работа объекта в интервале t}; C = A·B = {безотказная работа объекта до момента t + t}. Очевидно P(C) = P(A·B) = P(A)·P(B| A), поскольку события A и B будут зависимыми. Условная вероятность P(B| A) представляет ВБР P(t, t + t) в интервале [t, t + t], поэтому

P(B| A) = P(t, t +

t) = P(C)/ P(A) = P(t +

t)/ P(t).

(7)

ВО в интервале наработки [t, t + t], с учетом (7), равна:  

Q( t, t +

t ) = 1 - P( t, t +

t ) =

[

P(t ) - P(t +

t ) ] / P(t ).

(8)

  Плотность распределения отказов (ПРО) Статистическая оценка ПРО определяется отношением числа объектов n(t, t + t), отказавших в интервале наработки [t, t + t] к произведению общего числа объектов N на длительность интервала наработки t.

(9)

Поскольку n ( t, t + t ) = n ( t + t ) - n(t), где n( t + t ) – число объектов, отказавших к моменту наработки t + t, то оценку ПРО можно представить:

(10)

где( t, t + t) – оценка ВО в интервале наработки, т. е. приращение ВО за t. Оценка ПРО представляет «частоту» отказов, т. е. число отказов за единицу наработки, отнесенное к первоначальному числу объектов. Вероятностное определение ПРО следует из (10) при стремлении интервала наработки t t0 и увеличения объема выборки N

(11)

ПРО по существу является плотностью распределения (плотностью вероятности) случайной величины T наработки объекта до отказа. Поскольку Q(t) является неубывающей функцией своего аргумента, то f(t) 0. Один из возможных видов графика f(t) приведен на рис. 2. Как видно из рис. 2, ПРО f(t) характеризует частоту отказов (или приведенную ВО), с которой распределяются конкретные значения наработок всех N объектов (t₁ , … , t_N ), составляющие случайную величину наработки T до отказа объекта данного типа. Допустим, в результате испытаний установлено, что значение наработки ti присуще наибольшему числу объектов. О чем свидетельствует максимальная величина f(t_i). Напротив, большая наработка t_j была зафиксирована только у нескольких объектов, поэтому и частота f(t_j) появления такой наработки на общем фоне будет малой. Рис. 2 Отложим на оси абсцисс некоторую наработку t и бесконечно малый интервал наработки шириной dt, примыкающий к t. Тогда вероятность попадания случайной величины наработки T на элементарный участок шириной dt (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна:

(12)

где f(t)dt – элемент ВО объекта в интервале [t, t + dt] (геометрически это площадь заштрихованного прямоугольника, опирающегося на отрезок dt). Аналогично вероятность попадания наработки T в интервал [t_k , t_m ] равна:

(13)

что геометрически интерпретируется площадью под кривой f(t), опирающейся на участок [t_k , t_m ]. ВО и ВБР можно выразить в функции ПРО. Поскольку Q(t) = P{T < t}, то используя выражение (13), получим

(14)

расширение интервала слева до нуля вызвано тем, что T не может быть отрицательной. Т. к. P(t) = P{T t}, то

(15)

Очевидно, что Q(t) представляет собой площадь под кривой f(t) слева от t, а P(t) – площадь под f(t) справа от t. Поскольку все, полученные при испытаниях значения наработок лежат под кривой f(t), то  

(16)

3. Интенсивность отказов (ИО) Статистическая оценка ИО определяется  

(17)

отношением числа объектов n(t, t + t), отказавших в интервале наработки [t, t + t] к произведению числа N(t) работоспособных объектов в момент t на длительность интервала наработки t. Сравнивая (9) и (17) можно отметить, что ИО несколько полнее характеризует надежность объекта на момент наработки t, т. к. показывает частоту отказов, отнесенную к фактически работоспособному числу объектов на момент наработки t. Вероятностное определение ИО получим, умножив и поделив правую часть выражения (17) на N   С учетом (10),оценку ИО (t) можно представить откуда при стремлении t 0 и N получаем

(18)

Возможные виды изменения ИО (t) приведены на рис. 3.   Рис. 3     УРАВНЕНИЕ СВЯЗИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ БЕЗОТКАЗНОСТИ Уравнение связи показателей надежности В предыдущей лекции приведены выражения, определяющие вероятность безотказной работы (ВБР) и вероятность отказов (ВО) в функции ПРО f(t). Поскольку интенсивность отказов (ИО) (t) является более полной характеристикой надежности, представляет интерес выразить ВБР P(t) через ИО. Используя выражение для интенсивности отказов запишем dP(t) /dt = - (t)·P(t). Разделяя переменные (умножив обе части на dt / P(t)), получим dP(t) / P(t) = - (t) dt. Интегрируя от 0 до t и принимая во внимание, что при t = 0 ВБР объекта P(0) = 1, получаем откуда уравнение связи основных показателей надежности имеет вид:

(25)

Величина (t) dt – есть вероятность того, что элемент, безотказно проработавший в интервале наработки [0, t], откажет в интервале [t, t + dt]. Уравнение связи показывает, что все показатели надежности P(t), Q(t), f(t) и (t) равноправны в том смысле, что зная один из них, можно определить другие.   Числовые характеристики безотказности невосстанавливаемых объектов Средняя наработка до отказа Рассмотренные выше функциональные показатели надежности P(t), Q(t), f(t) и (t) полностью описывают случайную величину наработки T = {t}. В то же время для решения ряда практических задач надежности бывает достаточно знать некоторые числовые характеристики этой случайной величины и, в первую очередь, среднюю наработку до отказа. Статистическая оценка средней наработки до отказа

(1)

где t_i – наработка до отказа i-го объекта. При вероятностном определении средняя наработка до отказа представляет собой математическое ожидание (МО) случайной величины T и определяется:

(2)

Используя выражение для плотности распределения отказов и интегрирование по частям, можно преобразовать (2) к виду

(3)

с учетом того, что P(0) = 1, P() = 0. Из (3) следует, что средняя наработка до отказа геометрически интерпретируется как площадь под кривой P(t) – рис. 1.   Рис. 1   Очевидно, что с увеличением выборки испытаний N средняя арифметическая наработка (оценка ₀) сходится по вероятности с МО наработки до отказа. МО наработки T₀ означает математически ожидаемую наработку до отказа однотипных элементов, т. е. усредненную наработку до первого отказа. На практике также представляют интерес условные средние наработки: 1) средняя полезная наработка (₎ определенная при условии, что при достижении наработки t₁ все оставшиеся работоспособными объекты снимаются с эксплуатации; 2) средняя продолжительность предстоящей работы () при условии, что объект безотказно работал на интервале (0, t₁). Причины использования этих показателей: 1. Высоконадежные объекты (элементы электронных схем), как правило, эксплуатируются меньший срок чем T₀ (t_экс < T₀), т. е. заменяются по причине морального старения раньше, чем успевают наработать T₀. 2. Часто для указанных объектов сокращают период испытаний (проводят до наработок соответствующих их моральному старению), поэтому T₀ в таком случае понимают как среднюю наработку, которая имела бы место в действительности, если бы ИО оставалась такой, какой она была в начальный период испытаний. Средняя полезная наработка (по аналогии с T₀): Средняя продолжительность предстоящей работы Соотношение между , и T₀: + · P(t₁) . Графические понятия и T₀|_{t > t1} иллюстрируются рис. 2.   Рис. 2   В то же время средняя наработка не может полностью характеризовать безотказность объекта. Так при равных средних наработках до отказа T₀ надежность объектов 1 и 2 может весьма существенно различаться (рис. 3). Очевидно, что в виду большего рассеивания наработки до отказа (кривая ПРО f₂ (t) ниже и шире), объект 2 менее надежен, чем объект 1. Поэтому для оценки надежности объекта по величине ₀ необходимо еще знать и показатель рассеивания случайной величины T = {t}, около средней наработки T₀. К числу показателей рассеивания относятся дисперсия и среднее квадратичное отклонение (СКО) наработки до отказа. Рис. 3   Дисперсия случайной величины наработки: - статистическая оценка

(4)

- вероятностное определение

(5)

СКО случайной величины наработки:

(6)

Средняя наработка до отказа T₀ и СКО наработки S имеют размерность [ед. наработки], а дисперсия D - [ед. наработки ²]. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ Общие понятия о моделях надежности Для решения задач по оценке надежности и прогнозированию работоспособности объекта необходимо иметь математическую модель, которая представлена аналитическими выражениями одного из показателей P(t) или f(t) или (t). Основной путь для получения модели состоит в проведении испытаний, вычислении статистических оценок и их аппроксимации аналитическими функциями. В последующих лекциях будут рассмотрены модели, используемые в теории надежности. Выясним, как изменяется безотказность объектов при их эксплуатации, что позволит классифицировать модели и определить возможности их применения. Опыт эксплуатации показывает, что изменение ИО (t) подавляющего большинства объектов описывается U – образной кривой (рис. 1).   Рис. 1 Кривую можно условно разделить на три характерных участка: первый – период приработки, второй – период нормальной эксплуатации, третий – период старения объекта. Период приработки объекта имеет повышенную ИО, вызванную приработочными отказами, обусловленными дефектами производства, монтажа, наладки. Иногда с окончанием этого периода связывают гарантийное обслуживание объекта, когда устранение отказов производится изготовителем. В период нормальной эксплуатации ИО уменьшается и практически остается постоянной, при этом отказы носят случайный характер и появляются внезапно, прежде всего из-за несоблюдения условий эксплуатации, случайных изменений нагрузки, неблагоприятных внешних факторов и т. п. Именно этот период соответствует основному времени эксплуатации объекта. Возрастание ИО относится к периоду старения объекта и вызвано увеличением числа отказов от износа, старения и других причин, связанных с длительной эксплуатацией. Вид аналитической функции, описывающей изменение показателей надежности P(t), f(t) или (t), определяет закон распределения случайной величины, который выбирается в зависимости от свойств объекта, его условий работы и характера отказов.   Статистическая обработка результатов испытаний и определение показателей надежности Постановка задачи По результатам испытаний N невосстанавливаемых одинаковых объектов получена статистическая выборка – массив наработки (в любых единицах измерения) до отказа каждого из N испытывавшихся объектов. Выборка характеризует случайную величину наработки до отказа объекта T = {t}. Необходимо выбрать закон распределения случайной величины T и проверить правильность выбора по соответствующему критерию. Подбор закона распределения осуществляется на основе аппроксимации (сглаживания) экспериментальных данных о наработке до отказа, которые должны быть представлены в наиболее компактном графическом виде. Выбор той или иной аппроксимирующей функции носит характер гипотезы, которую выдвигает исследователь. Экспериментальные данные могут с большим или меньшим правдоподобием подтверждать или не подтверждать справедливость той или иной гипотезы. Поэтому исследователь должен получить ответ на вопрос: согласуются ли результаты эксперимента с гипотезой о том, что случайная величина наработки подчинена выбранному им закону распределения? Ответ на этот вопрос дается в результате расчета специальных критериев.   Алгоритм обработки результатов и расчета показателей надежности Формирование статистического ряда При большом числе испытываемых объектов полученный массив наработок {…, t_i, …} является громоздкой и мало наглядной формой записи случайной величины T. Поэтому для компактности и наглядности выборка представляется в графическом изображении статистического ряда – гистограмме наработки до отказа. Для этого необходимо: - установить интервал наработки [t_min, t_max] и его длину , где - разбить интервал наработки [t_min, t_max] на k интервалов равной ширины t – шаг гистограммы - подсчитать частоты появления отказов во всех k интервалах где n(t_i, t_i + t) – число объектов, отказавших в интервале [t_i, t_i + t]. Очевидно, что - полученный статистический ряд представляется в виде гистограммы, которая строится следующим образом. По оси абсцисс (t) откладываются интервалы t, на каждом из которых, как на основании, строится прямоугольник, высота которого пропорциональна (в выбранном масштабе) соответствующей частоте . Возможный вид гистограммы приведен на рис. 2.   Рис. 2   Расчет эмпирических функций Используя данные сформированного статистического ряда, определяются статистические оценки показателей надежности, т. е. эмпирические функции: - функция распределения отказов (оценка ВО) - функция надежности (оценка ВБР)   Рис. 3   - плотность распределения отказов (оценка ПРО) - интенсивность отказов (оценка ИО)     Рис. 4   Рис. 5   На рис. 3, 4, 5 приведены соответственно графики статистических оценок (t), Правила построения графиков ясны из приведенных выше расчетных формул. Каждый из графиков имеет свой масштаб.   Расчет статистических оценок числовых характеристик Для расчета статистических оценок числовых характеристик можно воспользоваться данными сформированного статистического ряда. Оценки характеристик определяются: - оценка средней наработки до отказа (статистическое среднее наработки): - оценка дисперсии наработки до отказа (эмпирическая дисперсия наработки): где – середина i-го интервала наработки, т. е. среднее значение наработки в интервале. Оценка СКО Целесообразно рассчитать оценки и некоторых вспомогательных характеристик рассеивания случайной величины T: - выборочный коэффициент асимметрии наработки до отказа   - выборочный эксцесс наработки до отказа Эти характеристики используются для выбора аппроксимирующей функции. Так коэффициент асимметрии является характеристикой «скошенности» распределения, например, если распределение симметрично относительно МО, то A = 0. На рис. 6, а распределение f₂(t) имеет положительную асимметрию A > 0, а f₃(t) – отрицательную A < 0. Эксцесс характеризует «крутость» (остро- или плосковершинность) распределения. Для нормального распределения E = 0. Кривые f(t), более островершинные по сравнению с нормальной, имеют E > 0, а наоборот – более плосковершинные, E < 0 (рис.6, б). Рис. 6   Выбор закона распределения Выбор закона распределения состоит в подборе аналитической функции наилучшим образом аппроксимирующей эмпирические функции надежности. Выбор, в значительной мере, процедура неопределенная и во многом субъективная, при этом многое зависит от априорных знаний об объекте и его свойствах, условиях работы, а также анализа вида графиков (t), (t),(t). Очевидно, что выбор распределения будет зависеть, прежде всего, от вида эмпирической функции ПРО (t), а также от вида - (t). Так коэффициентИтак, выбор закона распределения носит характер принятия той или иной гипотезы. Предположим, что по тем или иным соображениям, выбран гипотетический закон распределения, заданный теоретической ПРО     где a, b, c, … - неизвестные параметры распределения. Требуется подобрать эти параметры так, чтобы функция f(t) наилучшим образом сглаживала ступенчатый график (t). При этом используется следующий прием: параметры a, b, c, … выбираются с таким расчетом, чтобы несколько важнейших числовых характеристик теоретического распределения были равны соответствующим статистическим оценкам. На графике вместе с(t) строится теоретическая ПРО f(t), что позволяет визуально оценить результаты аппроксимации (расхождения между (t) и f(t). Поскольку эти расхождения неизбежны, то возникает вопрос: объясняются ли они случайными обстоятельствами, связанными с тем, что теоретическое распределение выбрано ошибочным? Ответ на этот вопрос дает расчет критерия согласия.   Расчет критерия согласия Критерий согласия – это критерий проверки гипотезы о том, что случайная величина T, представленная своей выборкой, имеет распределение предполагаемого типа. Проверка состоит в следующем. Рассчитывается критерий, как некоторая мера расхождения теоретического и эмпирического распределений, причем эта мера является случайной величиной. Чем больше мера расхождения, тем хуже согласованность эмпирического распределения с теоретическим, т. е. меньше мала, то гипотезу о выборе закона распределения следует отвергнуть, как мало правдоподобную. В противном случае – экспериментальные данные не противоречат принятому распределению. Из известных критериев наиболее применяемый критерий согласия ² (хи-квадрат) Пирсона. Проверка согласованности распределений по критерию ² производится следующим образом: - рассчитывается критерий ² (мера расхождения)     где – теоретическая частота (вероятность) попадания случайной величины в интервал [t_i, t_i + t]; - определяется число степеней свободы R = k – L , где L – число независимых условий, наложенных на частоты _i , например: а) условие ; б) условие совпадения ; в) условие совпадения = D и т. д. Чаще всего L = 3. Чем больше число степеней свободы, тем больше случайная величина ² подчиняется распределению Пирсона; - по рассчитанным ² и R определяется вероятность P того, что величина, имеющая распределение Пирсона с R степенями свободы, превзойдет рассчитанное значение ². Ответ на вопрос: насколько мала должна быть вероятность P, чтобы отбросить гипотезу о выборе того или иного закона распределения – во многом неопределенный. На практике, если P < 0,1, то рекомендуется подыскать другой закон распределения. В целом, с помощью критерия согласия, можно опровергнуть выбранную гипотезу, если же P достаточно велика, то это не может служить доказательством правильности гипотезы, а указывает лишь на то, что гипотеза не противоречит данным эксперимента.   НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАРАБОТКИ ДО ОТКАЗА Классическое нормальное распределение   Нормальное распределение или распределение Гаусса является наиболее универсальным, удобным и широко применяемым. Считается, что наработка подчинена нормальному распределению (нормально распределена), если плотность распределения отказов (ПРО) описывается выражением:  

(1)

  где a и b – параметры распределения, соответственно, МО и СКО, которые по результатам испытаний принимаются:     где ₀ , - оценки средней наработки и дисперсии. Графики изменения показателей безотказности при нормальном распределении приведены на рис. 1. Выясним смысл параметров Т₀ и S нормального распределения. Из графика f(t) видно, чтоТ₀ является центром симметрии распределения, поскольку при изменении знака разности (t - T₀) выражение (1) не меняется. При t = Т₀ ПРО достигает своего максимума       Рис. 1   При сдвиге Т₀ влево/вправо по оси абсцисс, кривая f(t) смещается в ту же сторону, не изменяя своей формы. Таким образом, Т₀ является центром рассеивания случайной величины T, т. е. МО. Параметр S характеризует форму кривой f(t), т. е. рассеивание случайной величины T. Кривая ПРО f(t) тем выше и острее, чем меньше S. Изменение графиков P(t) и (t) при различных СКО наработок (S1 < S2 < S3) и Т₀ = const приведено на рис. 2.     Рис. 2   Используя полученные ранее (лекции 3, 4) соотношения между показателями надежности, можно было бы записать выражения для P(t); Q(t) и (t) по известному выражению (1) для f(t). Не надо обладать богатой фантазией, чтобы представить громоздкость этих интегральных выражений, поэтому для практического расчета показателей надежности вычисление интегралов заменим использованием таблиц. С этой целью перейдем от случайной величины T к некоей случайной величине  

(2)

  распределенной нормально с параметрами, соответственно, МО и СКО M{X} = 0 и S{X} = 1 и плотностью распределения  

(3)

  Выражение (3) описывает плотность так называемого нормированного нормального распределения (рис. 3).     Рис. 3   Функция распределения случайной величины X запишется  

(4)

  а из симметрии кривой f(x) относительно МО M{X} = 0, следует, что f(-x) = f(x), откуда F(-x) = 1 - F(x) . В справочной литературе приведены расчетные значения функций f(x) и F(x) для различных x = (t - Т₀)/S. Показатели безотказности объекта через табличные значения f(x) и F(x) определяются по выражениям:  

f(t)

= f(x)/S;

(5)

Q(t) = F(x);

(6)

P(t) = 1 - F(x);

(7)

(t) = f(x)/S(1 - F(x)).

(8)

  В практических расчетах часто вместо функции F(x) пользуются функцией Лапласа, представляющей распределение положительных значений случайной величины X в виде:  

(9)

  Очевидно, что F(x) связана с (x) следующим образом:  

(10)

  Как и всякая функция распределения, функция (x) обладает свойствами:   (x)(- ) = -0,5; (x)() = 0,5; (x)(-x) = - (x) .   В литературе могут встретиться и другие выражения для (x), поэтому, какой записью (x) пользоваться – это дело вкуса. Показатели надежности объекта можно определить через (x), используя выражения (5) – (8) и (10):  

Q(t) = 0,5 +

(x) ;

(11)

P(t) = 0,5 -

(x) ;

(12)

(t) = f(x)/S(0,5 -

(x)) .

(13)

  Чаще всего при оценке надежности объекта приходится решать прямую задачу – при заданных параметрах Т₀ и S нормально распределенной наработки до отказа определяется тот или иной показатель безотказности (например, ВБР) к интересующему значению наработки t. Но в ходе проектных работ приходится решать и обратную задачу – определение наработки, требуемой по техническому заданию, ВБР объекта. Для решения подобных задач используют квантили нормированного нормального распределения. Квантиль – значение случайной величины, соответствующее заданной вероятности. Обозначим: t_p– значение наработки, соответствующее ВБР P; x_p – значение случайной величины X, соответствующее вероятности P. Тогда из уравнения связи x и t:     при x = x_p ; t = t_p, получаем   t_p= Т₀ + x_p S.   t_p, x_p – ненормированные и нормированные квантили нормального распределения, соответствующие вероятности P. Значения квантилей x_p приводятся в справочной литературе для P 0,5. При заданной вероятности P < 0,5 используется соотношение   x_p = - x_1-p . Например, при P = 0,3 x_0,3 = - x_{1- 0,3} = - x_{0, 7}   Вероятность попадания случайной величины наработки T в заданный интервал [t1, t₂] наработки определяется:  

(14)

  где x₁ = (t₁ - Т₀)/S , x₂ = (t₂ - Т₀)/S . Отметим, что наработка до отказа всегда положительна, а кривая ПРО f(t), в общем случае, начинается от t = - и распространяется до t = . Это не является существенным недостатком, если Т₀ >> S, поскольку по (14) нетрудно подсчитать, что вероятность попадания случайной величины T в интервал P{Т₀ - 3S < T < Т₀ + 3S} 1,0 с точностью до 1%. А это означает, что все возможные значения (с погрешностью не выше 1%) нормально распределенной случайной величины с соотношением характеристик Т₀ > 3S, находятся на участке Т₀ ± 3S. При большем разбросе значений случайной величины T область возможных значений ограничивается слева (0, ) и используется усеченное нормальное распределение.   Усеченное нормальное распределение Известно, что корректность использования классического нормального распределения наработки, достигается при Т₀ 3S. При малых значениях Т₀ и большом S, может возникать ситуация, когда ПРО f(t) «покрывает» своей левой ветвью область отрицательных наработок (рис. 4).   Рис. 4 Таким образом, нормальное распределение являясь общим случаем распределения случайной величины в диапазоне (- ; ), лишь в частности (при определенных условиях) может быть использовано для моделей надежности. Усеченным нормальным распределением называется распределение, получаемое из классического нормального, при ограничении интервала возможных значений наработки до отказа. В общем случае усечение может быть: левым – (0; ); двусторонним – (t₁ , t₂). Смысл усеченного нормального распределения (УНР) рассмотрен для случая ограничения случайной величины наработки интервалом (t₁ , t₂). Плотность УНР (t) = c f(t) , где   c – нормирующий множитель, определяемый из условия, что площадь под кривой (t) равна 1, т. е.     Откуда   где   Применяя переход от случайной величины Т = {t} к величине X = {x}:   x₂ = (t₂ – Т₀)/S ; x₁ = (t₁ – Т₀)/S , получается     поэтому нормирующий множитель c равен:     Поскольку [(x)(x₂) - (x)(x₁)] < 1, то c > 1, поэтому (t)> f(t). Кривая (t) выше, чем f(t), т. к. площади под кривыми (t) и f(t) одинаковы и равны 1 (рис. 5).     Рис. 5   Показатели безотказности для УНР в диапазоне (t₁ , t₂):     УНР для положительной наработки до отказа – диапазон (0; ) имеет ПРО   (t) = c₀ f(t) ,   где c₀ – нормирующий множитель определяется из условия:     и равен (аналогично предыдущему):     Показатели безотказности УНР (0; )     Изменение нормирующего множителя c₀ в зависимости от отношения Т₀ /S приведено на рис. 6.     Рис. 6. При Т₀ = S, Т₀ / S = 1 c₀ = max ( 1,2) . При Т₀ / S 2,5 c₀ = 1,0, т.е. (t)(t) = f(t) .       ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАРАБОТКИ ДО ОТКАЗА: ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ, ЛОГНОРМАЛЬНЫЙ И ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Экспоненциальное распределение Экспоненциальное распределение описывает наработку до отказа объектов, у которых в результате сдаточных испытаний (выходного контроля) отсутствует период приработки, а назначенный ресурс установлен до окончания периода нормальной эксплуатации. Эти объекты можно отнести к «не стареющим», поскольку они работают только на участке с (t) = = const. Круг таких объектов широк: сложные технические системы с множеством компонентов, средства вычислительной техники и системы автоматического регулирования и т. п. Экспоненциальное распределение широко применяется для оценки надежности энергетических объектов. Считается, что случайная величина наработки объекта до отказа подчинена экспоненциальному распределению, если ПРО описывается выражением:  

f(t) =

exp( -

t),

(1)

  где – параметр распределения, который по результатам испытаний принимается равным   1 / ₀ ,   где ₀ – оценка средней наработки до отказа. Остальные показатели безотказности при известной f(t), определяются:  

-

вероятность безотказной работы (ВБР):

P(t) = ex

p ( -

t)

,

(2)

-

вероятность отказа (ВО):

Q(t) = 1 - exp ( -

t),

(3

)

-

интенсивность отказов (ИО):

(t) =

exp ( -

t) / exp ( -

t) =

.

(4)

  Из (4) следует, что ИО является постоянной величиной, не зависящей от времени, и обратно пропорциональной оценке средней наработки (t) = = 1/ ₀ . Числовые характеристики наработки до отказа определяются: - средняя наработка (МО наработки) до отказа  

(5)

  - дисперсия наработки до отказа  

(6)

  Графики изменения показателей безотказности при экспоненциальном распределении приведены на рис. 1.   Рис. 1   Следует отметить, что при t < < 1, т. е. при наработке t много меньшей, чем средняя наработка T₀, выражения (1) – (4) можно упростить, заменив e^-t двумя первыми членами разложения e^-t в степенной ряд. Например, выражение для ВБР примет вид:     при этом погрешность вычисления P(t) не превышает 0,5 (t)². Все рассмотренные далее законы распределения наработки до отказа используются на практике для описания надежности «стареющих» объектов, подверженных износовым отказам.   Логарифмически нормальное (логнормальное) распределение   При логарифмически нормальном распределении нормально распределенным является логарифм (lg t) случайной величины T, а не сама эта величина. Логарифмически нормальное распределение во многом более точно, чем нормальное описывает наработку до отказа тех объектов, у которых отказ возникает вследствие усталости, например, подшипников качения, электронных ламп и пр. Если величина lg t имеет нормальное распределение с параметрами: МО U и СКО V, то величина T считается логарифмически нормально распределенной с ПРО, описываемой:  

(7)

  Параметры U и V по результатам испытаний принимаются:  

(8)

 

(9)

где и - оценки параметров U и V. Показатели надежности можно рассчитать по приведенным в лекции 6 выражениям, пользуясь табулированными функциями f(x) и, соответственно, F(x) и (x) для нормального распределения при x = (lg t - U) / V. Графики изменения показателей надежности при логарифмически нормальном распределении приведены на рис. 2. Числовые характеристики наработки до отказа:   - средняя наработка (МО наработки) до отказа  

(10)

  - дисперсия наработки до отказа  

(11)

  Рис. 2   Гамма–распределение   Случайная величина наработки до отказа T имеет гамма-распределение с параметрами (масштабный параметр) и (параметр формы), где , > 0, причем – целое число, если ее ПРО описывается выражением:  

(12)

  где Г() = ( - 1)! – гамма-функция Эйлера. Очевидно, что при = 1 выражение (12) упрощается до вида (1), соответствующего экспоненциальному распределению. Гамма-распределение наиболее хорошо описывает распределение суммы независимых случайных величин, каждая из которых распределена по экспоненциальному закону. При больших гамма-распределение сходится к нормальному распределению с параметрами: a = · , b = · ². Графики изменения показателей надежности при гамма-распределении приведены на рис. 3. Числовые характеристики наработки до отказа:   - средняя наработка (МО наработки) до отказа  

T

0

=

/

, (13)

(13)

  - дисперсия наработки до отказа  

D = D{T} =

/

2

.

(14)

    Рис. 3   Помимо рассмотренных законов распределения, в качестве моделей надежности объектов могут использоваться и другие, например: распределение Вейбулла, хорошо описывающее наработку объектов до отказа по усталостным разрушениям, распределение Релея, распределение Эрланга и т. п.   НАДЕЖНОСТЬ СИСТЕМ. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основы расчета надежности систем. Общие понятия Задача расчета надежности: определение показателей безотказности системы, состоящей из невосстанавливаемых элементов, по данным о надежности элементов и связях между ними. Цель расчета надежности: · обосновать выбор того или иного конструктивного решения; · выяснить возможность и целесообразность резервирования; · выяснить, достижима ли требуемая надежность при существующей технологии разработки и производства. Расчет надежности состоит из следующих этапов: 1. Определение состава рассчитываемых показателей надежности. 2. Составление (синтез) структурной логической схемы надежности (структуры системы), основанное на анализе функционирования системы (какие блоки включены, в чем состоит их работа, перечень свойств исправной системы и т. п.), и выбор метода расчета надежности. 3. Составление математической модели, связывающей рассчитываемые показатели системы с показателями надежности элементов. 4.Выполнение расчета, анализ полученных результатов, корректировка расчетной модели.   Состав рассчитываемых показателей:  

Системы с невосстанавливаемыми элементами

- cредняя наработка до отказа (

T

0с

);

- ВБР к заданной наработке

P

с

(t)

;

- ИО к заданной наработке

с

(t)

;

- ПРО к заданной наработке

f

с

(t)

.

Системы с восстанавливаемыми элементами

-

T

0с

; P

с

(t);

коэффициент готовности, коэффициент оперативной готовности, параметр

потока отказов.

  Структура системы – логическая схема взаимодействия элементов, определяющая работоспособность системы или иначе графическое отображение элементов системы, позволяющее однозначно определить состояние системы (работоспособное/неработоспособное) по состоянию (работоспособное/ неработоспособное) элементов. По структуре системы могут быть: · система без резервирования (основная система); · системы с резервированием. Для одних и тех же систем могут быть составлены различные структурные схемы надежности в зависимости от вида отказов элементов (см. таблицу).       Математическая модель надежности – формальные преобразования, позволяющие получить расчетные формулы. Модели могут быть реализованы с помощью: · метода интегральных и дифференциальных уравнений; · на основе графа возможных состояний системы; · на основе логико-вероятностных методов; · на основе дедуктивного метода (дерево отказов). Наиболее важным этапом расчета надежности является составление структуры системы и определение показателей надежности составляющих ее элементов. Во-первых, классифицируется понятие (вид) отказов, который существенным образом влияет на работоспособность системы. Во-вторых, в состав системы в виде отдельных элементов могут входить электрические соединения пайкой, сжатием или сваркой, а также другие соединения (штепсельные и пр.), поскольку на их долю приходится 10-50% общего числа отказов. В-третьих, имеется неполная информация о показателях надежности элементов, поэтому приходится либо интерполировать показатели, либо использовать показатели аналогов. Практически расчет надежности производится в несколько этапов: 1. На стадии составления технического задания на проектируемую систему, когда ее структура не определена, производится предварительная оценка надежности, исходя из априорной информации о надежности близких по характеру систем и надежности комплектующих элементов. 2. Составляется структурная схема с показателями надежности элементов, заданными при нормальных (номинальных) условиях эксплуатации. 3. Окончательный (коэффициентный) расчет надежности проводится на стадии завершения технического проекта, когда произведена эксплуатация опытных образцов и известны все возможные условия эксплуатации. При этом корректируются показатели надежности элементов, часто в сторону их уменьшения, вносятся изменения в структуру – выбирается резервирование.   Системы с резервированием. Общие понятия Работоспособность систем без резервирования требует работоспособности всех элементов системы. В сложных технических устройствах без резервирования никогда не удается достичь высокой надежности даже, если использовать элементы с высокими показателями безотказности. Система с резервированием – это система с избыточностью элементов, т. е. с резервными составляющими, избыточными по отношению к минимально необходимой (основной) структуре и выполняющими те же функции, что и основные элементы. В системах с резервированием работоспособность обеспечивается до тех пор, пока для замены отказавших основных элементов имеются в наличии резервные.   Структурное резервирование может быть:   По виду резервирование подразделяют на: · пассивное (нагруженное) – резервные элементы функционируют наравне с основными (постоянно включены в работу); · активное (ненагруженное) – резервные элементы вводятся в работу только после отказа основных элементов (резервирование замещением). При нагруженном резервировании резервные элементы расходуют свой ресурс, имеют одинаковое распределение наработок до отказа и интенсивность отказов основных _о и резервных _н элементов одинакова (_о = _н). При нагруженном резервировании различие между основными и резервными элементами часто условное. Для обеспечения нормальной работы (сохранения работоспособности) необходимо, чтобы число работоспособных элементов не становилось меньше минимально необходимого. Разновидностью нагруженного резервирования является резервирование с облегченным резервом, т. е. резервные элементы также находятся под нагрузкой, но меньшей, чем основные. Интенсивность отказов резервных элементов _об ниже, чем у основных _о, т. е. _о > _об. При нагруженном резервировании резервные элементы не подвергаются нагрузке, их показатели надежности не изменяются и они не могут отказать за время нахождения в резерве, т. е. интенсивность отказов резервных элементов _х = 0.   Примеры ненагруженного резервирования:     Резервные элементы включаются в работу только после отказа основных элементов. Переключение производится вручную или автоматически (автоматически – включение резервных машин и элементов в энергетике, в бортовых сетях судов и самолетов и т. д.; вручную – замена инструмента или оснастки при производстве, включение эскалаторов в метро в часы «пик» и т. д.). Разновидностью ненагруженного резервирования является скользящее резервирование, когда один и тот же резервный элемент может быть использован для замены любого из элементов основной системы. Если рассмотреть два характерных вида резервирования:     то очевидно, что при равенстве числа основных и резервных элементов ненагруженный резерв обеспечивает большую надежность. Но это справедливо только тогда, когда перевод резервного элемента в работу происходит абсолютно надежно (т. е. ВБР переключателя должна быть равна 1,0). Выполнение этого условия связано со значительными техническими трудностями или является иногда нецелесообразным по экономическим или техническим причинам. Обозначим: n – число однотипных элементов в системе; r – число элементов, необходимых для функционирования системы. Кратность резервирования – это соотношение между общим числом однотипных элементов и элементов, необходимых для работы системы:   k = (n - r)/r.   Кратность резервирования может быть целой, если r = 1, или дробной, если r > 1. Например:  

r =

1 , k = (3 - 1)/1 = 2.

    НАДЕЖНОСТЬ ОСНОВНОЙ СИСТЕМЫ Основные системы (ОС) являются простейшими техническими системами, в которых отказ одного элемента приводит к отказу всей системы. Работоспособность основной системы обеспечивается при условии, когда все n элементов системы находятся в работоспособном состоянии.     Поскольку события, заключающиеся в работоспособности элементов системы, являются независимыми, то    

вероятность безотказной работы (

ВБР

) ОС:

вероятность отказа (

ВО

) ОС:

 

При идентичных элементах ОС P1(t) = … = Pn(t) = P(t):

 

ВБР

:

P

с

(t) = P

n

(t) ;

ВО:

Q

с

(t) = 1 - P

n

(t)

.

Поскольку на участке нормальной эксплуатации наработку до отказа можно описать экспоненциальным распределением каждого элемента   P_i(t) = exp( -_i · t),   где _i = const, то  

ВБР ОС:

  Используя уравнение связи показателей безотказности, выражающее ВБР любого объекта, в том числе и системы     и полагая     получаем, что интенсивность отказов (ИО) ОС равна сумме ИО элементов:     В общем случае, для любого распределения наработки ИО системы равна:     Для n идентичных элементов ₁(t) = … = _n(t) = (t):     При экспоненциальном распределении наработки до отказа каждого из n элементов ОС P_i(t) = exp( -_i · t), где _i = const показатели безотказности ОС определяются:  

Неидентичные элементы

1

= … =

n

=

Идентичные элементы

1

= … =

n

=

ВБР:

ВО:

ИО:

МО наработки до отказа:

  Выражения для МО наработки до отказа получены из формулы:    

ПРО:

f

с

(t) = - d P

с

(t)/ dt =

с

exp( - t ·

с

);

f

с

(t) = n ·

· exp( - n · t ·

) .

 

Таким образом, при экспоненциальной наработке до отказа каждого из n элементов, распределение наработки до отказа ОС также подчиняется экспоненциальному распределению.

Для ОС надежность меньше надежности каждого из элементов. С увеличением числа элементов надежность ОС уменьшается.

Например, при n = 1000, P_i(t) = 0,99, P_с(t) < 10 ^{- 4} и средняя наработка до отказа системы в 1000 раз меньше средней наработки каждого из элементов.