Устойчивость линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

Поведение системы после снятия возмущения, то есть свободное движение, описывает решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

a_ny⁽ⁿ⁾(t) + a_n−1y^(n–1)(t) +…+ a₁y¢(t) + a₀y(t) = 0 (12.3)

и заданные начальные условия.

С этим уравнением связан характеристический полином:

D(s) = a_nsⁿ + a_n–1s^n–1 +…+ a₁s + a₀. (12.4)

Предположим, что корни этого полинома различны, тогда решение

. (12.5)

Рассмотрим корни (12.5). Пусть s₁ − действительный, тогда:

а) s₁ < 0, составляющая имеет вид кривой, асимптотически приближающейся к оси абсцисс при t ® ∞ (рис. 12.3а).

То есть, если все корни − действительные отрицательные, то все слагаемые и их сумма будут стремиться к нулю.

б) s₁ > 0, составляющая ® ∞ при t ® ∞. Тогда у ® ∞ даже в том случае, когда все остальные слагаемые решения стремятся к нулю при t ® ∞ (рис. 12.3б).

в) Пусть уравнение (12.5) имеет комплексно-сопряженные корни s_1,2 = a±iw. Если α < 0, тогда решение представляет собой затухающие колебания с частотой ω (рис. 12.3в).

Если комплексно-сопряженные корни имеют отрицательную действительную часть, то составляющие решения стремятся к нулю при t ® ∞.

Рис. 12.3. Изображение составляющих решения дифференциального уравнения:

а) корни действительные отрицательные; б) корни действительные положительные;

в) корни комплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью;

г) корни комплексно-сопряженные с положительной действительной частью;

д) корни мнимые; е) нулевой корень

г) α > 0, тогда решение явля-ется колебательным процессом с нарастающей амплитудой (рис. 12.3г).

д) α = 0, то есть s_1,2 = ±iw, тогда решение будет иметь вид незатухающих колебаний (рис. 12.3д).

е) Если уравнение (12.5) имеет нулевой корень s₁ = 0, y₁ = C, то есть решение представляет собой константу.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части. Это правило получило название признака устойчивости. Геометрическая интерпретация этого признака показана на рис. 12.4.

Отсюда формулировка признака устойчивости: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения находились в левой полуплоскости комплексной переменной s. Если хотя бы один корень лежит справа от мнимой оси, то система неустойчива. Если хотя бы один корень лежит на мнимой оси, то система находится на границе устойчивости. Если уравнение имеет пару мнимых корней, система находится на колебательной границе устойчивости, если уравнение имеет нулевой корень, система находится на апериодической границе устойчивости. Мнимая ось iω является границей устойчивости.

Рис. 12.4. Геометрическая интерпретация признака устойчивости:

а) все корни с отрицательной действительной частью;

б) часть корней имеет положительную действительную часть