ДИНАМИКА СИСТЕМ. Уравнения движения

Математическое описание системы автоматического управления – это описание процессов, протекающих в системе. Построение системы управления начинают с изучения объекта управления и составления его математического описания. В качестве объекта может выступать аппарат, технологический процесс и предприятие. Различие математических моделей объектов связано с их назначением. Модели описывают режимы работы объекта или системы управления и могут быть получены способами: экспериментальным, аналитическим, комбинированным.

При экспериментальном способе уравнения моделей получают путем постановки экспериментов (активный эксперимент) или статистической обработки результатов регистрации переменных объекта в условиях его нормальной эксплуатации (пассивный эксперимент).

При аналитическом описании уравнения моделей получают на основании физико-химических закономерностей протекающих процессов.

При экспериментально-аналитическом подходе уравнения моделей получают аналитическим путем с последующим уточнением параметров этих уравнений экспериментальными методами.

При разработке математического описания систем автоматического управления учитывают методологические положения теории автоматического управления. Это системный подход к решению задач управления; применение методов теории автоматического управления к системам самой разнообразной физической природы; рассмотрение системы как цепи взаимодействующих элементов, передающих сигналы в одном направлении; составление математического описания с рядом упрощений.

Уравнения математической модели объекта или системы управления, устанавливающие взаимосвязь между входными и выходными переменными, называют уравнениями движения. Уравнения, описывающие поведение системы в установившемся режиме при постоянных воздействиях, называются уравнениями статики. Уравнения, описывающие поведение системы в неустановившемся режиме при произвольных входных воздействиях, называются уравнениями динамики.

Объекты регулирования можно разделить на два класса: объекты с сосредоточенными координатами, динамика которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, и объекты с распределенными координатами, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями в частных производных. В дальнейшем будут рассмотрены только объекты с сосредоточенными координатами.

Например, модель объекта, описываемого дифференциальным уравнением второго порядка, с сосредоточенными координатами

F(y, y', y", x, x') + f = 0, (5.1)

где y – выходная переменная; x, f – входные переменные; y', x' – первые производные по времени; y" – вторая производная по времени.

При постоянных входных воздействиях x = x₀; f = f₀ с течением времени выходная величина принимает постоянное значение y =y₀и уравнение (5.1) преобразуется как F(y₀, 0, 0, x₀, 0) + f₀ = 0, являющемся статическим.

Статической характеристикой объекта называют зависимость выходной величины от входной в статическом режиме. Статическую характеристику можно построить экспериментально, если подавать на вход объекта постоянные воздействия и замерять выходную переменную после окончания переходного процесса. Статическая характеристика характеризуется коэффициентом k = ¶y/¶x. Для объектов с нелинейной статической характеристикой k является переменным (рис. 5.1а), для объектов с линейной статической характеристикой коэффициент постоянен (рис. 5.1б).