Задача анализа детерминированной системы

Постановка задачи

Пусть исследуется производственный процесс, в котором поступление требований происходит через равные промежутки времени (т.е. интенсивность потока поступлений требований ) и обслуживание производится через равные промежутки времени (т.е. интенсивность обслуживания ). Имеется один канал обслуживания. Предполагается, что (в противном случае очередь будет бесконечно возрастать) и что к началу обслуживания в системе имеется уже n требований. Определить, через какое время очередь исчезнет.

Выявление основных особенностей, взаимосвязей и количественных закономерностей

Величину называют коэффициентом использования СМО. Очередь будет бесконечно возрастать, если , а если же , то очередь будет иметь постоянную длину. Схематически работа рассматриваемой СМО представлена на рисунке 6.2.

Рисунок 6.2 – Схема работы системы

Пока обслуживается очередь из n требований в течение времени , вновь поступит на обслуживание требований:

.

Аналогично, пока будут обслуживаться требований в течение времени , дополнительно поступит на обслуживание требований:

.

Это происходит до тех пор, пока , после чего очередь исчезнет.

Весь процесс функционирования СМО представим в аналитическом виде.

Построение математической модели

Время, через которое очередь исчезнет, можно представить в таком виде:

Исследование математической модели

Для определения времени, через которое очередь исчезнет, необходимо раскрыть математическую модель.

В модели использована формула суммы геометрической прогрессии. Чем ближе интенсивность потока к интенсивности обслуживания , тем через больший промежуток времени исчезнет очередь (при ). Членом можно для упрощения расчётов пренебречь, тогда .