Лекция 6

Задачи оптимального планирования раскроя в деревообработке. Общие сведения о задачах оптимального раскроя в деревообработке

Задача оптимального планирования раскроя формулируется следующим образом: задана спецификация сырья, известны схемы раскроя, которые будут использоваться в процессе раскроя, а также спецификация продукции, которую требуется получить. Требуется определить оптимальный план раскроя. То есть требуется определить, какое количество сырья следует раскроить по каждой из схем раскроя, так чтобы выбранный критерий оптимальности принял экстремальное значение. При этом необходимо выполнить спецификационный план по выпуску продукции, а объем перерабатываемого сырья каждого вида не должен превышать имеющихся запасов сырья.

В деревообработке задача оптимального планирования раскроя возникает при планировании раскроя пиловочного сырья на пиломатериалы, раскрое древесностружечных плит на мебельные заготовки, пиломатериалов на заготовки. При раскрое пиловочного сырья задаются объем пиловочника каждой размерно-качественной группы, требуемый объем пиломатериалов каждого сечения и набор поставов, которые будут использоваться при раскрое. При раскрое древесностружечных плит исходными данными являются количество плит, требуемое количество заготовок каждого размера и набор карт раскроя, по которым будет производиться раскрой. При раскрое пиломатериалов на заготовки необходимо учитывать объемы пиломатериалов и заготовок с различными размерно-качественными характеристиками. Соответственно, в результате решения задачи оптимального раскроя пиловочного сырья определяется объем пиловочника, который требуется раскроить по каждому поставу, при раскрое древесностружечных плит количество плит, раскраиваемое по каждой карте раскроя, а при раскрое пиломатериалов на заготовки количество пиломатериалов раскраиваемых по каждой схеме раскроя.

Вне зависимости от того, какая именно задача раскроя рассматривается ее можно формализовать в виде задачи линейного программирования,

У которой в качестве элементов решения будут использоваться переменные, соответствующие количеству сырья (исходного материала) определенного вида, который раскраивается по одной из возможных схем раскроя. В качестве критерия оптимальности, как правило, используется минимум используемого сырья.

Математическая модель задачи оптимального планирования раскроя древесностружечных плит на мебельные заготовки

Задача оптимального планирования раскроя древесностружечных плит на мебельные заготовки формулируется следующим образом. Путь задана спецификация мебельных заготовок (указаны размеры и количество заготовок каждого размера) и известны карты раскроя, которые будут использоваться в процессе получения заготовок. Требуется найти оптимальный план раскроя, то есть определить, какое количество плит необходимо раскроить по каждой карте раскроя так, чтобы полученные результаты были наилучшими с точки зрения выбранного критерия оптимальности, а количество полученных заготовок каждого размера не менее заданного в спецификации.

Рассмотрим пример. Пусть имеются две карты раскроя, показанные на рис 6.1. Эти карты предназначены для получения заготовок 2-х размеров, 1-го и 2-го. Заготовок первого размера требуется получить в количестве не менее 80 шт., заготовок 2-го размера не менее 320. Требуется построить математическую модель для получения оптимального плана по критерию минимума общего количества раскраиваемых плит. Требуется определить какое количество плит необходимо раскроить по каждой карте раскроя так, чтобы суммарное количество израсходованных плит было минимально. При этом количество полученных заготовок каждого размера должно быть не менее заданного в условиях задачи.

Обозначим через количество плит, которые необходимо раскроить по 1-й карте раскроя, а через - количество плит которые надо раскроить по 2-й карте. Тогда общее количество раскраиваемых плит буде равно сумме плит раскраиваемых по1-й и 2-й карте раскроя. Соответственно целевая функция задачи запишется следующим образом:

+ → min (6.1)

Перейдем, теперь к формированию системы ограничений модели, которые должны обеспечить выполнение спецификационного плана по выпуску заготовок.

1-ая карта раскроя 2-ая карта раскроя

Рис. 6.1 карта раскроя плит ДСтП на мебельные заготовки.

Рассмотрим процесс формирования ограничений по количеству заготовок 1 –го размера.

При раскрое одной плиты по 1-й карте раскроя будет получено две заготовки 1-го размера. При раскрое плит таких заготовок будет получено в раз больше, т.е. 2. При раскрое одной плиты по 2-й карте раскроя будет получено 3 заготовки 1-го размера, а при раскрое плит 3.

Таким образом общее количество заготовок 1-го размера которые будут получены при использовании 1-й и 2-й карт раскроя равно:

2 + 3 (6.2)

Поскольку должно быть получено не менее 80 заготовок первого размера, ограничение на количество заготовок 1-го размера будет выглядеть следующим образом:

2 + 3 ≥ 80 (6.3)

Аналогичным образом можно записать ограничение на количество заготовок 2-го размера:

3 + 2 ≥ 320 (6.4)

Таким образом, окончательно, математическая модель для рассматриваемого примера будет иметь вид:

Целевая функция:

+ → min (6.5)

Ограничения:

2 + 3 ≥ 80 (6.6)

3 + 2 ≥ 320 (6.7)

Запишем, теперь математическую модель задачи нахождения оптимального плана раскроя древесностружечных плит по критерию минимума количества раскраиваемых плит в общем виде:

(6.8) Ограничение на количество заготовок:

(6.9)

Где:

- количество плит которое необходимо раскроить по j-ой карте раскроя в соответствии с оптимальным планом, j=;

- общее количество карт раскроя, которые будут использоваться;

- количество заготовок -го размера которые требуется получить в соответствии со спецификационным планом, .

N-общее количество размеров заготовок, в спецификации заготовок;

- количество заготовок -го размера, которое можно получить при раскрое одной плиты по j карте раскроя;

Расчет оптимального плана раскроя пиловочного сырья на пиломатериалы

Задача оптимального раскроя пиловочного сырья на пиломатериалы формулируется следующим образом.

Имеется пиловочное сырье, рассортированное на различные размерно-качественные группы и известен объем пиловочника каждой группы. Задана спецификация пиломатериалов, которые требуется получить, а также набор поставов, которые будут использоваться в процессе раскроя. Требуется найти оптимальный план раскроя, то есть требуется определить какое количество сырья каждой размерно-качественной группы требуется распилить по каждому поставу, так чтобы суммарный объем распиленного сырья был минимален. При этом необходимо выполнение следующих условий:

1.Объем сырья каждой размерно-качественной группы перерабатываемый в соответствии с оптимальным планом не должен превышать имеющихся запасов пиловочника данной размерно- качественной группы;

2.Объем пиломатериалов каждого сечения, полученных в результате реализации оптимального плана, должен быть не менее заданного в спецификации.

Рассмотрим пример построения математической модели задачи оптимального планирования раскроя пиловочного сырья.

Пусть имеется пиловочное сырье 2-х диаметров 16 и 18 см, объем которого V₁ и V₂ равен соответственно 350 и 450 м³. Требуется получить пиломатериалы толщиной 19, 25 и 32 мм в количестве Q₁ = 80, Q₂ = 170 и

Q₃ = 150 м³ соответственно. При распиловке предполагается использовать по два постава для сырья каждого диаметра. Характеристики этих поставов, спецификации сырья и пиломатериалов приведены в табл. 3.1-3.4

Табл. 6.1 спецификация табл. 6.2 спецификация

Пиловочного сырья пиломатериалов

Таблица 6.3

Значения выхода пиломатериалов по поставам

При раскрое бревен диаметром 16 см

Таблица 6.4

Значение выхода пиломатериалов по поставам

При раскрое бревен диаметром 18 см

Отметим, что в таблице 6.3 - 6.4 для каждого диаметра используется своя система нумерации поставов.

Обозначим через количество сырья диаметром 16 см которое необходимо распилить по 1 поставу. Первый индекс переменной - это индекс диаметра бревна, второй индекс постава. Объем сырья этого же диаметра, которое будет распиливаться по 2-му поставу обозначим, соответственно .

Для второго диаметра (d=18 cм) объем сырья распиливаемого по 1-му поставу будет обозначаться , по второму . Очевидно, что общий объем используемого сырья буде равен сумме объемов сырья каждого диаметра распиливаемого по каждому поставу. Поэтому выражение для целевой функции задачи реализующей критерий минимума распиливаемого сырья с учетом введенных обозначений будет иметь вид:

+ + + → min (6.10)

Запишем теперь ограничение на объем перерабатываемого сырья диаметром 16 см. По 1-му поставу распиливается м3, по 2-му м³. Суммарный объем переработки пиловочника этого диаметра не должен превышать 350 м³. Таким образом ограничение по объему переработки пиловочника 1-го диаметра ( d=16 см) будет иметь вид:

+ ≤ 350 (6.11) Аналогично записывается и ограничение на объем переработки пиловочника 2-го диаметра (d=18 см) -

+ ≤ 450 (6.12)

Перейдем, теперь к формированию системы ограничений модели, которые должны обеспечить выполнение спецификационного плана по выпуску пиломатериалов. Сначала рассмотрим ограничение по объему выпуска пиломатериалов толщиной 19 мм. Как следует из таблицы 3.3 коэффициент выхода этих пиломатериалов при раскрое сырья диаметром 16 см по 1-му поставу равен 0,161, по 2-му-0,074 . При распиловке сырья диаметром 18 см по 1-му поставу коэффициент выхода пиломатериалов толщиной 19 мм равен 0,093 , а по 2-му - 0,209. Следовательно, при раскрое 1-го м³ пиловочного сырья диаметра 16 см по 1-му поставу пиломатериалов толщиной 19 мм будет получено 0,161 м³. При раскрое м³ пиловочника таких пиломатериалов будет получено в раз больше: 0,161∙. При раскрое 1 м³ пиловочника диаметром 16 см по 2-му поставу будет получено 0,074 пиломатериалов толщиной 19 мм, при раскрое м³ сырья – в раз больше: 0,074∙.

Таким образом количество пиломатериалов толщиной 19 мм, которые будут получены при распиловке пиловочника d = 16 cм равно:

0,161 + 0,074 (6.13)

Аналогичным образом, объем пиломатериалов толщиной 19 мм, полученных при распиловке сырья диаметром 18 см будет равен

0,093 + 0,209 . (6.14)

А общее количество пиломатериалов толщиной 19 мм получаемых при распиловке сырья обеих диаметров составит

0,161 + 0,074 + 0,093 + 0,209 (6.15)

Поскольку необходимо получить не менее 80 м³ пиломатериалов толщиной 19 мм, ограничение по объему пиломатериалов этой толщины запишется следующим образом:

0,161 + 0,074 + 0,093 + 0,209 ≥ 80 (6.16)

Аналогичным образом запишется ограничение по объему выпуска пиломатериалов толщиной 25 мм

0,251 + 0,503 + 0,201 + 0 ≥ 170 (6.17)

И пиломатериалов толщиной 32 мм.

0,186 + 0 + 0,297 + 0,386 ≥ 150 (6.18)

Таким образом, окончательно, математическая модель будет иметь вид:

Целевая функция:

+ + + → min (6.19)

Ограничения:

+ ≤ 350 (6.20)

+ ≤ 450 (6.21)

0,161 + 0,074 + 0,093 + 0,209 ≥ 80 (6.22)

0,251 + 0,503 + 0,201 + 0 Х₂₂ ≥ 170 (6.23)

0,186 + 0 + 0,297 + 0,386 Х₂₂ ≥ 150 (6.24)

В общем случае модель задачи оптимального планирования раскроя пиловочного сырья на пиломатериалы можно записать следующим образом:

Целевая функция:

(6.25)

Ограничения по объему раскраиваемого сырья:

(6.26)

Ограничения на объем вырабатываемых пиломатериалов:

(6.27)

Где -объем пиловочника i-го вида, который раскраивается по j-му

поставу; i = 1, …, n; j = 1, N_i;

N - количество размерно- качественых групп сырья;

N_i - количество поставов, используемых при распиловке сырья i-го вида;

V_i - объем сырья i-го вида;

- коэффициент выхода пиломатериалов p-го сечения при

Распиловке сырья i- го вида по j-му поставу;

Q_p - объем пиломатериалов p-го сечения заданный в спецификации пиломатериалов ;

Лекция 7