Перемещения при плоском изгибе

При изгибе в качестве перемещений рассматриваются прогиб и угол поворота поперечного сечения. Прогибом балки δ называется величина, на которую перемещается центр тяжести поперечного сечения в направлении, перпендикулярном первоначальной оси балки. Углом поворота поперечного сечения q называется угол, на который поворачивается поперечное сечение при деформации балки (рис. 6.7).

В дальнейшем будем считать, что прогибы и углы поворота балки малы и , а << 1. Приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки имеет вид: .

Рис. 6.7

Если балка имеет один участок, то это уравнение можно непосредственно проинтегрировать:

, ,

где – жесткость при изгибе;

С и D – константы интегрирования, которые представляют собой прогиб и угол поворота в начале координат и определяются из граничных условий задачи.

В связи с неравномерным распределением напряжений по сечению балки рациональным можно считать сечение балки, которое при равной с другими сечениями площади имеет наименьшие напряжения.

Максимальные напряжения, возникающие в балке при действии заданной нагрузки, тем меньше

Рис. 6.8

чем больше осевой момент сопротивления сечения изгибу.

Поэтому сечения с большим W_у будут более рациональными. Так, например, прямо- угольное сечение, показанное на рис. 6.8 а предпочтительнее использовать при изгибе под действием вертикальной нагрузки, так как осевой момент сопротивления сечения изгибу для него будет больше, чем для этого же сечения, но повернутого на 90^о (рис. 6.8 б).

Анализируя эпюры напряжений, можно отметить, что на продольной линии нормальные напряжения равны нулю, касательные напряжения достигают максимума, в крайних волокнах, наиболее удаленных от продольной линии, наоборот, нормальные напряжения достигают наибольших по модулю значений, а касательные напряжения равны нулю. Расчетная практика показала, что нормальные напряжения, как правило, в несколько раз больше касательных. Поэтому имеет смысл проектировать сечения так, чтобы в зоне действия больших напряжений находилась бы большая часть материала. Этому требованию отвечают сечения в виде двутавровых и швеллеровых прокатных профилей, а также различные коробчатые и кольцевые сечения (рис. 6.9).

Рис. 6.9