Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей

Пусть z_с, у_с – центральные оси сечений, – моменты инерции сечения относительно этих осей. Определим моменты инерции сечения относительно новых осей z₁, у₁, параллельных центральным осям и смещенных относительно них на расстояния a и d. Пусть dA – элементарная площадка в окрестности точки М с координатами y и z в центральной системе координат. Из рис. 4.3 видно, что координаты точки С в новой системе координат будут равны , .

Определим момент инерции сечения относительно оси у₁:

Рис.4.3

z_c

y_c

z₁

y₁

Очевидно, что первый интеграл дает , второй – , так как исходная система координат – центральная, а третий – площадь сечения А.

Таким образом,

. (4.10)

Аналогично

, (4.11)

. (4.12)

Изменение моментов инерции сечения при повороте осей

Найдем зависимость между моментами инерции относительно осей y, z и моментами инерции относительно осей y₁, z₁, повернутых на угол a. Пусть J_y > J_z и положительный угол a отсчитывается от оси y против часовой стрелки. Пусть координаты точки М до поворота – y, z, после поворота – y₁, z₁ (рис. 4.4).

Из рисунка следует:

; .

Теперь определим моменты инерции относительно осей y₁ и z₁:

или

Рис. 4.4

z₁

y₁

z₁

. (4.13)

Аналогично:

. (4.14)

(4.15)

Сложив почленно уравнения (4.13) и (4.14), получим:

т.е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей остается постоянной и не изменяется при повороте системы координат.

Главные оси инерции и главные моменты инерции

С изменением угла поворота осей a каждая из величин и меняется, а сумма их остается неизменной. Следовательно, существует такое значение

a = a₀, при котором моменты инерции достигают экстремальных значений, т.е. один из них достигает своего максимального значения, а другой – минимального. Для нахождения значения a₀ возьмем первую производную от (или ) и приравняем ее нулю:

или ,

откуда

. (4.16)

Покажем, что относительно полученных осей центробежный момент инерции равен нулю. Для этого приравняем правую часть уравнения (4.15) нулю: , откуда , т.е. получили ту же формулу для a₀.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями. Если эти оси являются также и центральными, то они называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.

Обозначим главные оси через y₀ и z₀. Тогда

;

; (4.17)

Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда является одной из главных центральных осей инерции сечения.