Лекция 4. Геометрические характеристики плоских сечений

Вопросы лекции:

1. Статические моменты сечений.

2. Моменты инерции сечений.

3. Главные оси инерции и главные моменты инерции.

4. Моменты инерции простых сечений.

Как было показано выше, при растяжении и сжатии площадь поперечного сечения полностью характеризует прочность и жесткость стержня. Возьмем некоторое поперечное сечение бруса (рис. 4.1). Если представить себе сечение состоящим из бесчисленного множества площадок dA, то площадь всего сечения . Площадь является простейшей геометрической характеристикой сечения (размерность м²). Отметим два важных свойства: площадь всегда положительна и не зави-

Рис. 4.1 сит от выбора системы координат.

При расчетах на изгиб, кручение, сложное сопротивление и устойчивость используются более сложные геометрические характеристики: статические моменты, моменты инерции сечений, которые зависят не только от формы и размеров сечений, но также от положения осей и точек (полюсов), относительно которых они вычисляются.

Статические моменты сечений

Статическим моментом S_z сечения относительно оси z называется геометрическая характеристика, определяемая интегралом вида

, (4.1)

где у – расстояние от элементарной площадки dA до оси z.

Если отождествить площадь с силой, действующей перпендикулярно плоскости чертежа, то интеграл (4.1) можно рассматривать как сумму моментов сил относительно оси z. По известной из теоретической механики теореме Вариньона о моменте равнодействующей можно написать

, (4.2)

где A – площадь сечения (представляет собой равнодействующую);

у_с – координата (плечо равнодействующей);

с – центр тяжести сечения.

Аналогично статический момент относительно оси у равен

, (4.3)

откуда следуют формулы для определения координат центра тяжести

; . (4.4)

Статические моменты могут быть положительными, отрицательными и равными нулю. В частности, относительно любых центральных осей, проходящих через центр тяжести С (оси обозначаются х_с, у_с), статические моменты . Размерность статических моментов м³.

Для вычисления статического момента сложной фигуры ее разбивают на части, для каждой из которых известна площадь и положение центра тяжести (z_с, у_с):

;

. (4.5)

Таким образом, статический момент сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме статических моментов всех частей сечения относительно той же оси.