В дальнейшем, в целях обоснования математической модели процесса, предполагают, что ротор центрифуги приведен во внезапное вращательное движение с угловой скоростью w, а ограниченный областью r0 £ r £ R (где r0 и R, соответственно, радиус свободной поверхности жидкости и радиус ротора) поток движется как квазитвёрдое тело (рис. 6.3). При этом показано, что интродуцированная в данный поток частица небольшого размера движется практически по радиусу с небольшой скоростью.
Для того чтобы обосновать выражение текущего критического диаметра тонкодисперсной частицы, формально, силу тяжести Gзаменяют центробежнойсилой
Fцб = Vrтw2r,
где r - радиальная координата, и, в таком случае согласно принципу Даламбера записывают
Fцб+ FАр + Fc = 0, (6.10)
где FАр, Fc - соответственно, сила Архимеда и сила сопротивления.
w
r0
w
r
o
R
Рис. 6.3
Если, для определённости, принимать rт > rж, то в проекции на радиальное направление, уравнение (6.10) принимает вид
VDrw2r + Fc = 0. (6.11), где Dr = rт - rж > 0.
При этом для исследуемого кинетического процесса выражение силы сопротивления Fc выбирают в зависимости от величины числа Рейнольдса Re. Для значений Re < 1 полагают, что Fc, согласно формуле Стокса, пропорционально первой степени величины местной скорости частицы (т.е. скорости частицы относительно потока), для значений Re > 1 - пропорционально степени, большей единицы. Если рассматривают процесс седиментации высокодисперсныхчастиц, то условие Re < 1 обычно выполняется, и поэтому, в принятых по характеру кинематики потока допущениях, силу сопротивления движению частицы рассчитывают в соответствии с формулой Стокса
Fc = -3pmdv, (6.12)
где Dr, m и d имеют тот же смысл, что и ранее, по тексту, v = vr - радиальная скорость частицы.
Тогда, подставляя (6.12) в (6.11), получают
(6.13)
где
k = (6.14)
Исходя из дифференциального уравнения движения частицы, вследствие (6.13) имеют
откуда, разделяя переменные
(6.15)
Интегрируя (6.15) слева по r в пределах от r до R, справа по t от 0 до t, находят частное решение уравнения (6.15)
(6.16)
откуда получают выражение текущего критического диаметра частицы как функции координаты r и времени t
(6.16)
Физический смысл определяемой по (6.16) величины заключается в том, что при одинаковых условиях по начальным данным, частица диаметром d¢ > d достигнет стенку ротора быстрее, чем частица диаметром d.
Проводя проверку на асимптотику формулы (6.16), при limr®Rdк = 0, limt®¥dк = 0, limt®0dк = ¥, убеждаются в согласии величины текущего критического диаметра частицы dк физическому смыслу исследуемого явления.
Из формулы (6.16) вытекает выражение для критического диаметра осадительной центрифуги в виде функции от времени t и физико-механических и геометрических параметров анализируемого процесса
dк = (6.17)
В свою очередь, из формулы (6.17) следует зависимость времени Т осаждениячастицыот значения dкр
(6.18)
Для того чтобы получить интегральную характеристику по количеству оседающих на стенке ротора частиц из цилиндрического объёма r0 £ r £ R и единичной высоты, выделяют элементарную трубку радиусами r, r + dr и той же высоты (рис. 6.4).
Причём, из выделенного объёма (r, r + dr) суспензии за время t осаждается количество частиц, равное
dn1 = (2prdr)n0Ф[d(r,t)], (6.19)
где Ф(d) = 1 - F(d), F(d),Ф(d) - соответственно, счётная и характеристическая функции распределения частиц по крупности.
Интегрируя (4.11) слева по числу n оседающих частиц, а справа - по r - по толщине потока, имеют
(6.20)
r0
r
dr
R
o
Рис. 6.4
С другой стороны, так как тот же объём суспензии включает p(R2 - r02)n0 частиц, то в качестве счётного коэффициента осветления, в силу (6.20), получают
(6.21)
а в качестве счётного коэффициента уноса
(6.22)
где n2(t) - количество частиц в осветлённой суспензии (фугате) в том же объёме ротора.
Принимая во внимание формулу (6.20), например, для коэффициента уноса e получают в явной форме
(6.23)
Учитывая, что, по определению, F(0) = 0, F(¥) = 1, проверкой на асимптотическое поведение по времени коэффициента уноса (6.23)
убеждаются в согласии с физическим смыслом данного коэффициента.
Кроме того, поскольку F¢(d) > 0, R >r, то в соответствии с (6.23) частная производная по времени коэффициента уноса
=
< 0,
то, как и должно быть, коэффициент уноса быстро убывает с течением времени (суспензия осветляется с ростом времени), с порядком убывания О(t-3/2).
Соответственно, при тех же условиях, коэффициент осветления h(t) - возрастающая функция t.
Принимая во внимание формулу (6.18), выражению (6.23) придают удобный для расчётов вид
(6.24)
Формулы (6.21) - (6.24) полагают в основу количественного анализа процесса осаждения высокодисперсныхчастиц в роторе центрифуги периодического действия.
