Метод пространства состояния. Представление двухмассовой системы в переменных состояния

Наряду с представленной моделью в переменных «входы-выходы», в которой используются передаточные функции отдельных звеньев и построенные из них структурные схемы, в настоящее время для моделирования сложных систем используют метод «пространства состояний».

В математическом описании метода присутствуют не только входные воздействия и выходные переменные, но и внутренние промежуточные переменные, число которых равно числу дифференциальных уравнений входящих в систему, которые и называются переменными состояния. Все эти переменные образуют структуру, представленную на рис.6, где:

- входные переменные;

- входные переменные;

- переменные состояния.

Рис.6 Структурная схема метода переменных состояния

В общем виде решения задачи для любой системы в переменных состояния сводится к решению системы 2-х уравнений:

Структурная схема данной системы представлена на рис.7.

Рис.7 Структурная схема системы в переменных состояния

В данной структурной схеме введены следующие обозначения.

1. - вектор состояния системы.

- число уравнений.

- соответственно для каждого из уравнений переменная, выраженная в каждом из уравнений в качестве входных

2. - вектор входных переменных

- число входных переменных

3. -вектор выходных переменных

- число выходных переменных

4. - матрица промежуточных переменных или параметрическая матрица, которая представляет собой матрицу коэффициентов при переменных состояния.

Номер строки - номер уравнения. Номер столбца - номер переменной состояния.

5. - входная матрица системы представляет собой матрицу коэффициентов перед входными переменными.

Номер строки - номер уравнения. Номер столбца - номер переменной.

6. - выходная матрица системы - параметрическая матрица.

Номер строки - номер выходной переменной. Номер столбца - номер уравнения.

7. - проходная матрица - матрица коэффициентов перед членами уравнений связи между входными и выходными величинами.

Для 2-х массовой механической системы имеем следующее решение.

, , , , .

Уравнения (4) - (6) относительно производных:

, , , , .

, ,

, ,

,

В итоге:

(10)

Рис.8 Структурная схема двухмассовой механической системы в переменных состояния