Произведение бесконечно большой на число есть величина бесконечно большая.

Между бесконечно малой и бесконечно большой величинами существует простое соотношение: если α(х) - бесконечно малая величина не равная тождественно нулю в окрестности точки х₀, то f(x) = 1/α(х) - бесконечно большая величина в окрестности точки х₀ и наоборот. Символьная запись этого утверждения

.

Действительно, из определения бесконечно малой следует, что для каждого сколь угодно малого числа e > 0 можно указать зависящее от e положительное число d(e) > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству ½x₀ - х½< d, имеет место неравенство ½ α(х) ½ < e. Тогда для f(x) = 1/α(х) выполняется соотношение

.

А это и означает, что f(x) бесконечно большая величина при x®x₀.

Аналогично доказывается что величина обратная бесконечно большой есть бесконечно малая.

Поэтому, если 2 х - 6 является бесконечно малой величиной в окрестности точки х = 3, то 1/(2х-6) - бесконечно большая в окрестности той же точки. Так как 1/х бесконечно большая в окрестности точко ноль, то х есть бесконечно малая в окрестности той же точки.

Глава 3. Правила вычисления пределов функции.

Теорема. Разность между функцией и ее пределом в точке х₀ есть величина бесконечно малая, т. е., если ,

то

f (x) = A + a (х) (3.1)

где a (х) бесконечно малая функция в окрестности точки х₀.

Доказательство.Обозначим за a (х) разность между функцией и ее пределом

a (х) = f (x) – A.

Тогда из определения предела функции следует что, для всех х удовлетворяющих условию ½x₀ - х½< d. Сравнив полученные соотношения с определением бесконечно малой функции, мы можем утверждать, что a (х) есть величина бесконечно малая.

Справедливы следующие свойства пределов функций: