Главный результат данного параграфа состоит в том, что для общей задачи многокритериальной оптимизации не существует единственного решения, а ее частные постановки, имеющие единственное решение, приводят к разным результатам. Поэтому лицо, принимающее решение на основе использования оптимизационных методов, должно с наибольшим вниманием относиться прежде всего к постановке задачи, к тому, в какой степени именно такая постановка соответствует стоящей перед ним проблеме.
Второй, более общий язык, на котором описывается выбор, это язык бинарных отношений. Его большая, нежели у критериального языка, общность основана на учете того факта, что в реальности дать оценку отдельно взятой альтернативе часто затруднительно или невозможно. Однако, если рассматривать альтернативу не в отдельности, а в паре с другой, то находятся основания сказать, какая из них более предпочтительна. Таким образом, основные предположения этого языка сводятся к следующему:
1. отдельная альтернатива не оценивается, т.е. критериальная функция не вводится;
2. для каждой пары альтернатив некоторым образом можно установить, что одна из них предпочтительнее другой либо они равноценны или несравнимы (чаще всего последние два понятия отождествляются);
3. отношение предпочтения внутри любой пары альтернатив не зависит от остальных альтернатив, предъявленных к выбору.
Математически бинарное отношение R на множестве X определяется как определенное подмножество упорядоченных пар (x,y). Удобно использовать обозначение xRy, если x находится в отношении R c y. Множество всех пар {(x,y), x, y ∈ X } называется полным (»универсальным») бинарным отношением. Поскольку в общем случае не все возможные пары (x,y) удовлетворяют условиям, накладываемым отношением R, бинарное отношение является некоторым подмножеством полного бинарного отношения R.
Задать отношение — это значит тем или иным способом указать все пары (x,y), для которых выполнено отношение.
Существует четыре разных способа задания отношений, а преимущества каждого проявляются при разных характеристиках множества X.
Первый, очевидный, способ состоит в 1 непосредственном перечислении таких пар. Ясно, что он приемлем лишь в случае конечного множества R.
Второй удобный способ задания отношения R на конечном множестве — матричный. Все элементы нумеруются, и матрица отношения R определяется своими элементами для всех i и j. Известным примером такого задания отношений являются турнирные таблицы (если ничьи обозначить нулями, как и проигрыш, то матрица изобразит отношение «xi — победитель yj»).
Третий способ — задание отношения — 1 графом. Вершинам графа G(R) ставят в соответствия (пронумерованные) элементы множества X, и если xiRyj, то от вершины xi проводят направленную дугу к вершине xj.
Для определения отношений на бесконечных множествах альтернатив используется четвертый способ — задание отношения R - 1 сечениями. Множество?
называется верхним сечением отношения, а множество
R-(x) = {y ∈ X | (y,x) ∈ R}
нижним сечением. Иначе говоря, верхнее сечение — это множество всех y, которые находятся в отношении xRy с заданным элементом x, а нижнее сечение — множество всех y, с которыми заданный элемент x находится в отношении R. Отношение однозначно определяется одним из своих сечений.
В ряде практических случаев критериальная функция не существует, т.е. оценку данной альтернативе можно дать только в результате ее сравнения с другой альтернативой. Это потребовало более общего описания выбора. Первым таким обобщением и является язык бинарных отношений.
Некоторые особенности выбора привели к построению третьего, еще более общего языка его описания — «языка функций выбора». Во-первых, нередко приходится сталкиваться с ситуациями, когда предпочтение между двумя альтернативами зависит от остальных альтернатив. Например, предпочтение покупателя между чайником и кофеваркой может зависеть от наличия в продаже кофемолки. Во-вторых, возможны такие ситуации выбора, когда понятие предпочтения вообще лишено смысла. Например, по отношению к множеству альтернатив довольно обычными являются правила выбора «типичного», выбора «среднего», выбора «наиболее отличного, оригинального», теряющие смысл в случае двух альтернатив. Язык функций выбора является весьма общим и потенциально может описывать любой выбор. Однако его теория находится в начальной стадии развития и пока еще занимается описанием преимущественно старых ситуаций в новых терминах. Знакомство с языком функций выбора выходит за рамки настоящего курса лекций.
