Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной
Итак, пусть для оценивания альтернатив используется несколько критериев qi(x); i = 1...p. Как же тогда осуществлять выбор? Рассмотрим наиболее употребительные способы решения многокритериальных задач. Первый способ состоит в том, чтобы многокритериальную задачу свести к однокритериальной. Это означает введение суперкритерия, т.е. скалярной функции векторного аргумента:
q0(x)= q0[q1(x), q2(x), ..., qp(x)].
(2)
Суперкритерий позволяет упорядочить альтернативы по величине q0, выделив тем самым наилучшую (в смысле этого критерия). Вид функции q0 определяется тем, как мы представляем себе вклад каждого критерия в суперкритерий. Обычно используют аддитивные или мультипликативные функции:
q0 = ∑{αi⋅qi/Si},
(3)
1 - q0 = ∏{1 - [βi⋅qi/Si]}
(4)
Коэффициенты Si обеспечивают, во-первых, безразмерность числа Qi/Si (частные критерии могут иметь разную размерность) и, во-вторых, в необходимых случаях (как в формуле 4) выполнения условия Bi⋅Qi/Si < 1. Коэффициенты Ai и Bi отражают относительный вклад частных критериев в суперкритерий.
Итак, при данном способе задача сводится к максимизации суперкритерия:
x* = argmax{q0[q1(x), ..., qp(x)]}
(5)
Очевидные достоинства объединения нескольких критериев в один суперкритерий сопровождаются рядом трудностей и недостатков, которые необходимо учитывать при использовании этого метода. Оставив в стороне трудности построения самой функции и вычислительные трудности ее максимизации, обратим внимание на следующий очень важный момент. Упорядочение точек в многомерном пространстве в принципе не может быть однозначным и полностью определяется видом упорядочивающей функции. Суперкритерий играет роль этой упорядочивающей функции, и его даже «небольшое» изменение может привести к тому, что оптимальная в новом смысле альтернатива окажется очень сильно отличающейся от старой.
Недостатки свертывания нескольких критериев заставляют искать другие подходы к решению задач многокритериального выбора. Рассмотрим второй способ решения таких задач. Он заключается в использовании того факта, что частные критерии обычно неравнозначны между собой. Наиболее явное выражение этой идеи состоит в выделении основного, главного критерия и рассмотрении остальных как дополнительных, сопутствующих. Такое различие критериев позволяет сформулировать задачу выбора как 1 задачу нахождения условного экстремума основного критерия:
x* = arg{ max q1(x)|qi(x) = Ci, i=2,3,...p}
(6)
при условии, что дополнительные критерии остаются на заданных им уровнях.
В некоторых задачах оказывается возможным или даже необходимым задавать ограничения на сопутствующие критерии не столь жестко, как в задаче (6). Например, если сопутствующий критерий характеризует стоимость затрат, то вместо фиксации затрат разумнее задавать их верхний уровень, т.е. формулировать задачу с ограничениями типа неравенств:
x*=arg{ max q1(x)|qi(x) ≤ Ci, i=2,3...,p}
(7)
Отметим, что такое, казалось бы, незначительное изменение постановки задачи требует принципиально иных методов ее решения.