Система «хищник-жертва». Одной из популярных проблем науки о живой природе является исследование взаимодействия сообществ «хищники-жертвы» в некоторой ограниченной среде обитания. Рассмотрим для простоты экосистему с одним трофическим уровнем, в котором хищники и жертвы разделяются на два непересекающихся множества. Пусть множество хищников состоит из следующих элементов:
Определение точных количественных динамических существующих между хищниками и жертвами, является довольно связей, сложной задачей. Как правило, с уверенностью можно утверждать только, что определенные хищники выбирают только определенные жертвы. В подобной ситуации описание системы в терминах отношения инцидентности может дать совершенно неожиданную информацию о фундаментальной структуре экосистемы.
Определим отношение между множествами X и Y следующим образом:
Отношение l существует между хищником y и жертвой x тогда и только тогда, когда хищник y поедает жертву x. Отношение l удобно описать с помощью матрицы инциденций L:
l
Ант.
Зрн.
Кбн.
Скт.
Трв.
Лст.
Нск.
Рпт.
Люди
Львы
Слоны
Птицы
Рыбы
Лошади
Причем, если хищник y поедает жертву x, то l = 1, в противном случае l = 0. Анализируя матрицу инциденций, можно выявить совершенно неочевидные структурные свойства системы «хищник-жертва». Таким образом, даже в отсутствии очевидных динамических уравнений оказывается возможным построить содержательное математическое описание изучаемой системы.
Двоичный выбор. При анализе многих системных задач, представляющих практический интерес, разумно предполагать, что система стремится минимизировать некоторую (быть может, неизвестную) потенциальную функцию. Это означает, что в отсутствие внешних возмущений система стремится к состоянию равновесия, которому соответствует минимум энергии некоторого «силового поля», причем природа этого поля может быть различной. Для иллюстрации этого положения рассмотрим случай, когда возможны два варианта выбора в зависимости от значений некоторой функции полезности U(x, a, b), где x — переменная, описывающая выбор; а и b — параметры, от которых этот выбор зависит. Тогда можно определить функцию бесполезности как E(x, a, b) = -U и построить модель, в которой эта функция минимизируется.
Допустим, что между двумя пунктами возможны два маршрута А и В, стоимость которых соответственно CA и CB. Внешние параметры а и b являются функциями разности стоимостей С = CB - CA. Предположим, что x < 0 соответствует маршруту А, а x > 0 — маршруту В. Тогда можно построить функции а(С) и b(C), такие, найдется такое число l, что:
· если С > 0 и велико по модулю, то возможен выбор только маршрута А и, следовательно, x < 0;
· если С < 0 и велико по модулю, то возможен выбор только маршрута В и, следовательно, x > 0;
· если 0 < С < l, то наиболее вероятным является А, хотя возможен выбор и маршрута В
· если -l < С < 0, то наиболее вероятным является выбор маршрута В, хотя возможен выбор и маршрута А;
· если C = O, то вероятности выбора каждого маршрута одинаковы.
Рис. 2.2 — Выбор двоичного маршрута
Для построения модели процесса выбора нам потребовалась всего лишь функция бесполезности. Другими словами, мы не испытывали необходимости в более подробном описании внутренней динамики процесса (которого для большинства социально-экономических систем просто нет). Более того, нам не нужно даже знать точного вида функции Е(x, a, b). Единственное, что требуется, наша готовность признать сам факт существования такой функции, а все остальное следует из абстрактных математических рассуждений и имеющихся численных данных (включая и точный вид кривой, представленной на рис.1.2, поскольку это необходимо для количественного моделирования данной системы). Для моделирования подобных ситуаций используется теория катастроф Тома.
