Задачи оптимизации.

Основные понятия.

Лекция 7.

Методы оптимизации.

Под оптимизацией понимают процесс выбора наи­лучшею вариант из всех возможных. С точки зрения инженерных расчетов методы оптимизации позволяют выбрать наилучший вариант конструкции, наилучшее распределение ресурсов и т.д.

В процессе решения задачи оптимизации обычно необходимо найти оптимальные значения некоторых параметров, определяющих данную задачу. При решении инженерных задач их принято называть проектными параметрами, а в экономических задачах их обычно называют параметрами плана. В качестве проектных параметров могут быть значения линейных размеров объекта, массы, температуры, и т.п. Число проектных параметров характеризует размерность ( и степень сложности ) задачи оптимизации.

Выбор оптимального решения или сравнение двух альтернативных решений проводится с помощью некоторой зависимой величины (функции), определяемой проектными параметрами. Эта величина называется целевой функцией (или критерием качества).

В процессе решения задачи оптимизации должны быть найдены такие значения проектных параметров, при которых целевая функция имеет минимум (или максимум). Таким образом, целевая функция – это глобальный критерий оптимальности в математических моделях, с помощью которых описываются инженерные или экономические задачи.

Целевую функцию можно записать в виде:

.

Примеры целевой функции: прочность или масса конструкции, мощность установки, объем выпуска продукции, прибыль и т.д.

В случае одного проектного параметра () целевая функция является функция одной переменной, и её график – некоторая кривая на плоскости. При целевая функция является функцией двух переменных, и её графиком является поверхность.

Целевая функция может быть задана формулой или таблицей. Во всех случаях она должна быть однозначной функцией проектных параметров. Целевых функций в задаче может быть несколько. Некоторые целевые функции могут оказаться несовместными. В таких случаях необходимо вводить приоритет той или иной целевой функции.

Можно выделить два типа задач оптимизации – безусловные и условные. Безусловная задача оптимизации состоит в отыскании максимума или минимума действительной функции от действительных переменных и определении соответствующих значений аргументов на некотором множестве -мерного пространства. Обычно рассматриваются задачи минимизации; к ним легко сводятся и задачи на поиск максимума путем замены знака целевой функции на противопо­ложный.

Условные задачи оптимизации, или задачи с ограничениями, -это та­кие, при формулировке которых задаются некоторые условия (ограниче­ния) на множестве . Эти ограничения задаются совокупностью некоторых функций, удовлетворяющих уравнениям или неравенствам.

В результате ограничений область проектирования , определяемая все­ми проектными параметрами, может быть существенно уменьшена в соответствии с физической сущностью задачи.

При наличии ограничений оптимальное решение может соответствовать либо локальному экстремуму внутри области проектирования, либо значению целевой функции на границе области. Если ограничения отсутствуют, то ищется оптимальное решение на всей области проектирования, т.е. глобальный экстремум.