О других методах. Особые случаи.

Кроме рассмот­ренных выше методов численного интегрирования су­ществует ряд других. Дадим краткий обзор некоторых из них.

Формулы Ньютона -Котеса получаются путем заме­ны подынтегральной функции интерполяционным мно­гочленом Лагранжа с разбиением отрезка интегрирова­ния на равных частей. Получающиеся формулы ис­пользуют значения подынтегральной функции в узлах интерполяции и являются точными для всех многочленов некоторой степени, зависящей от числа узлов.(Точность формул растет с увеличением степени интерполяцион­ного многочлена).

Метод Гаусса не предполагает разбиения отрезка ин­тегрирования на равные промежутки. Формулы числен­ного интегрирования интерполяционного типа ищутся такими , чтобы они обладали наивысшим порядком точно­сти при заданном числе узлов. Узлы и коэффициенты формул численного интегрирования находятся из усло­вий обращения в нуль их остаточных членов для всех многочленов максимально высокой степени.

Формула Эрмита, являющаяся частным случаем формул Гаусса, использует многочлены Чебышева для вычисления интегралов вида .

Получающаяся формула характерна тем, что все коэффициенты при равны.

Метод Маркова состоит в том, что при выводе формул Гаусса вводятся дополнительные предположения о совпадении точек разбиения отрезка, по крайней мере, с одним из его концов.

Формула Чебышева представляет интеграл в виде

При этом решается следующая задача: найти точки и коэффициент такие, при которых остаточный член обращается в нуль, когда функция является произвольным многочленом возможно большей степени.

Формула Эйлера использует не только значения подынтегральной функции в точках разбиения, но и ее производные до некоторого порядка на границах отрезка.

Рассмотрим особые случаи численного интегрирова­ния: а) подынтегральная функция разрывна на отрезке интегрирования; б) несобственные интегралы.

а) В ряде случаев подынтегральная функция или ее производные в некоторых внутренних точках отрезка интегрирования терпят раз­рыв. В этом случае интеграл вычисляют численно каждого участка непрерывности и результаты складывают. Например, в случае одной точки разрыва имеем

.

Для вычисления каждого из стоящих в правой части ин­тегралов можно использовать рассмотренные выше ме­тоды.

б) Не так просто обстоит дело с вычислением несоб­ственных интегралов. Напомним, что к такому типу от­носятся интегралы, которые имеют хотя бы одну бес­конечную границу интегрирования или подынтеграль­ную функцию, обращающуюся в бесконечность хотя бы в одной точке отрезка интегрирования.

Рассмотрим сначала интеграл с бесконечной границей интегрирования, например интеграл вида

, .

Существует несколько приемов вычисления таких инте­гралов.

Можно попытаться ввести замену переменных , которая превращает интервал интегрирова­ния в отрезок . При этом подынтегральная функция и первые ее производные до некоторого поряд­ка должны оставаться ограниченными.

Еще один прием состоит в том, что бесконечная гра­ница заменяется некоторым достаточно большим числом так, чтобы принятое значение интеграла отличалось от исходного на некоторый малый остаток, т. е.

, .

Если функция обращается в бесконечность в некото­рой точке конечного отрезка интегрирования, то можно попытаться выделить особенность, представив подынтегральную функцию в виде суммы двух функций:

.

При этом ограничена, а имеет особенность в данной точке, но интеграл (несоб­ственный) от нее может быть вычислен непосредственно по формулам. Тогда численный метод используется толь­ко для интегрирования ограниченной функции .