Упорядочение набора данных и поиск в наборе данных некоторого значения – две фундаментальные программистские задачи. Необходимо, чтобы в наборе данных каждый элемент имел так называемый ключ(key), по значению которого идентифицируется весь элемент. Например, у элемента массива ключом является его порядковый номер, а у поля записи – имя поля. Если программа находит искомый ключ, то она автоматически получает доступ и к данным, связанным с этим ключом – ведь они составляют единую структуру (Рис. 11.1).
Рис. 15.1. Ключи и данные.
Если нет никакой дополнительной информации об имеющемся наборе данных, остается лишь полный перебор всех ключей. При этом, если в наборе N значений, среднее число просматриваемых ключей равно N/2. Это легко объяснить: искомый ключ может оказаться и первым (один просмотр), и последним (N просмотров), а в среднем и получится N/2. Алгоритм линейного поиска очень простой:
CONST N=100; TYPE TA=ARRAY[1..N] OF WORD; VAR a:TA; x: WORD; I:BYTE; BEGIN … i:=0; WHILE (I<N) AND (a[I]<>x) DO INC(I);
Казалось бы, тут "ни прибавить, ни убавить". Однако есть средство сделать такой алгоритм существенно более быстрым. Обратите внимание, что в заголовке цикла WHILE проверяются два условия: совпадение ключей и выход за границы массива. Можно сделать следующее: добавить к концу массива еще один элемент и перед поиском занести в него искомое значение ключа. Тогда в цикле останется проверять только условие совпадения с ключом, поскольку ключ в массиве гарантированное есть – или "настоящий" который мы и ищем, или "подставной", добавленный в конец. Программа выглядит следующим образом:
CONST N=100; TYPE TA=ARRAY[1..N+1] OF WORD; VAR a:TA; x: WORD; I:BYTE; BEGIN … a[N+1] := x; { искомое значение } i := 0; WHILE (a[I]<>x) DO INC(I);
Если массив данных предварительно упорядочен (отсортирован) по возрастанию значений ключа, то поиск в нем можно осуществить гораздо быстрее – за log(N) сравнений. Чтобы почувствовать, насколько log(N) меньше N, взгляните на таблицу:
Несомненно, скорость поиска увеличится на много порядков. Алгоритм поиска в упорядоченном массиве называется двоичным поиском(binary search). Идея такого алгоритма появилась еще в 1947г., но работающей реализации не удавалось получить до начала 60-х гг. ХХ века [2]. До сих пор при приеме на работу программиста одно из наиболее частых тестовых заданий – написание программы двоичного поиска. При этом сам по себе алгоритм не является очень уж сложным. Нередко двоичный поиск сравнивают с поиском льва в пустыне. Как известно каждому охотнику для того, чтобы найти льва в пустыне, надо мысленно разделить пустыню пополам, затем ту ее половину, в которой находится лев, разделить еще раз пополам и так далее до тех пор, пока лев не окажется пойманным или охотник – съеденным (Рис. 11.2).
Рис. 15.2. Поиск льва в пустыне.
Применим двоичный поиск к реальному массиву чисел. Пусть в массиве содержатся целые числа 1,12,38,45,79,112. Надо узнать, присутствует ли в массиве число 45. Последовательность действий показана на Рис. 11.3.
Рис. 15.3. Выполнение двоичного поиска.
На первом этапе массив делится пополам на две части: 1,12,38 и 45,79,112. Ничего страшного, если в массиве нечетное число элементов и в одной из частей будет на один элемент больше, чем в другой. Теперь надо установить, в какой из частей может быть число 45. Для этого достаточно сравнить 45 с правым (максимальным) значением левой части массива, в данном случае это 38. Если 45>38, то число 45 никак не может находиться в левой половине массива. Значит, ее можно отбросить. За одно сравнение удалось вдвое уменьшить число рассматриваемых элементов! Далее процесс повторяется до нахождения (или ненахождения) искомого числа.
Программа двоичного поиска в упорядоченном массиве выглядит следующим образом:
L : = 0; R := N-1; found : = FALSE; WHILE (L<=R) AND NOT(found) DO BEGIN m := (R-L) DIV 2; { делим массив пополам } IF a[m] = x THEN found := TRUE ELSE IF a[m]<x THEN L := m+1 ELSE R: = m-1 END;
