Важная особенность рассмотренных кодов состоит в том, что в процессе выполнения операции сложения-вычитания не происходит переполнения цифровой части числа и переноса в знаковый разряд. Переполнение возникает лишь в знаковом разряде. Так бывает потому, что сумма двух слагаемых по модулю меньше единицы.
При решении реальных задач часто трудно определить заранее, будет ли сумма двух слагаемых меньше единицы. Во всяком случае, для предотвращения переполнения можно вводить дополнительные ограничения на величину слагаемых, сужающих диапазон чисел, с которыми оперирует машина. И то, и другое является неприемлемым.
Рассмотрим такой пример:
X = -0,101 Дополнительный код 1.011 = [X]дк
Y= -0,111 1.001 = [Y]дк
S- = X- + Y- 0.100 = [S]дк
То есть получаем неправильный результат как по знаку, так и в цифровой части.
Рассмотрим ещё один пример:
X = +0,101 В любом из ранее рассмотренных 0.101 = [X]дк,ок
Y = +0,111 кодов имеем 0.111 = [Y]дк,ок
S+ = X+ + Y+ 1.100 = [S]дк,ок
То есть и в этом случае происходящее переполнение в цифровой части искажает результат операции.
Можно заметить, что переполнение числовой сетки происходит в случае одинаковых знаков слагаемых, так как именно в этом случае модуль результата превосходит модули каждого из слагаемых, сам факт переполнения может быть зафиксирован изменением знака результата.
Таким образом, одним из способов фиксации переполнения является автоматическое определение перехода от одинаковых знаков слагаемых к противоположному знаку результата.
Однако такой способ фиксации переполнения неудобен, так как предварительно знаки слагаемых должны быть запомнены, сравнены между собой и после получения результата.
Существует другой принцип фиксации переполнения. Этот принцип основан на применении так называемых модифицированных кодов. Очевидно,что при переполнении разрядной сетки вычисления необходимо прекратить или, по крайней мере, выработать специальный признак переполнения, а решение о прекращении вычислений возложить на программиста.
Существо модифицированных кодов состоит в том, что к знаковому разряду добавляется ещё один разряд:
"+" ставится в соответствие 00
"–" ставится в соответствие 11
Тогда, по определению модифицированным дополнительным кодом числа называется
Возникающий в знаковых разрядах перенос теряется. В целом же модифицированный код не отличается от простого дополнительного. Аналогично, по определению, обратным кодом является:
Как и в случае простого обратного кода, возникающая единица переноса в знаковых разрядах по цепи циклического переноса добавляется в младший разряд цифровой части числа.
Так как в сложении по-прежнему участвуют только числа меньше единицы, то
S = X + Y < 2
Поэтому старший знаковый разряд не может быть искажён переносом из цифровой части числа, с другой стороны, перенос, возникающий при сложении чисел в случае, когда
S = X + Y > 1
искажает младший знаковый разряд.
Несовпадение знаковых разрядов после выполнения операции указывает на факт наличия переполнения.
При этом различают два типа переполнения:
"01" - положительное
"10" - отрицательное.
Первому ставится в соответствие комбинация 01 в знаковых разрядах, а второму – 10.
Примеры
Модифицированный дополнительный код:
а) [X]мдк = 00.101 +00.101
[Y]мдк = 00.111 00.111
[S]мдк = 01.100 – положительное переполнение
б) [X]мдк = 11.101 +11.101
[Y]мдк = 11.001 11.001
[S]мдк = 1х10.110 – отрицательное переполнение
Модифицированный обратный код
а) [X]мок = 00.101 +00.101
[Y]мок = 00.111 00.111
[S]мок = 01.100 – положительное переполнение
б) [X]мок = 11.010 +11.010
[Y]мок = 11.000 11.000
1|10.010
-----1
[S]мок = 10.011 – отрицательное переполнение
Умножение чисел со старших разрядов в прямом коде
Пусть два числа X и Y представлены с фиксированной запятой в виде:
= sign Z. (|X|*2-1*y1 + |X|*2-2*y2 + ... + |X|*2-n*yn)
Это есть аналитическая запись алгоритма умножения двух чисел, начиная со старших разрядов множителя.
Алгоритм:
Множимое сдвигается вправо на 1 разряд
Анализируется цифра множителя. Если она – нуль, то частичное произведение не суммируется, а если она – единица, то частичное произведение добавляется к общему результату.
Последовательность операций по пунктам 1 и 2 продолжается "n" раз.
Знак произведения находится независимо от получения цифровой части по формуле:
sign Z = sign X sign Y
Пример:
Видно, что в общем случае нужно иметь для точного результата сетку с числом разрядов, равным сумме разрядностей сеток сомножителей.
Если нужно получать произведение с точностью не хуже, чем 2-n, то достаточно иметь не удвоенную величину разрядной сетки, а лишь увеличенную на
d = log2n разрядов
Умножение с младших разрядов в прямом коде
Напишем выражение для произведения двух чисел в несколько изменённом виде, а именно:
Это выражение называется преобразованием по схеме Горнера и задаёт алгоритм умножения с младших разрядов множителя.
Таким образом, для умножения должна выполняться следующая последовательность действий:
Анализируется младшая цифра множителя. Если она равна "1", то множимое участвует в формировании части произведения. В противном случае – не участвует.
Полученное частичное произведение сдвигается вправо на 1 разряд.
Операции по пунктам 1 и 2 выполняются до старшего разряда.
Пример:
signZ= 1 1 = 0
[Z]пк = 0.10000100
Замечание.
Для получения произведения с точностью не ниже, чем 2-n нужно иметь только "n"– разрядную сетку.
Итак, видим, что для получения произведения как при умножении со старших,так и младших разрядов необходимо выполнять две микрооперации: суммирование чисел в позиционной системе счисления и сдвига.
Однако, известно, что числа могут быть представлены в различных кодах(это, прежде всего, отрицательные числа).
Мы уже знаем, как выполняется операция суммирования чисел (в том числе и с разными знаками).
Однако микрооперация сдвига имеет некоторые особенности:
Сдвиг вправо:
Сдвиг влево возможен только в случае, если сдвинутое число меньше единицы по модулю:
Исходные числа:
Если чисто формально сделать преобразование выражения некоторого числа, записанного в прямом коде до выполнения сдвига и после выполнения микрооперации сдвига, в обратный модифицированный код, то:
То есть при сдвиге вправо отрицательного числа старшие разряды заполняются единицами. При сдвиге влево в старшие и младшие разряды пишутся единицы.
Пользуясь аналогичными правилами, нетрудно установить, что при сдвиге влево отрицательного числа в модифицированном дополнительном коде младшие разряды сдвинутого числа нужно заполнить нулями.
Умножение с младших разрядов в дополнительном коде
1
sign Y
