Основные понятия. В зависимости от того, изменяется ли состояние системы со временем, ее можно отнести к классу статических или динамических систем.
Статическая система – система, состояние которой не изменяется в течение определенного периода ее существования.
Динамическая система – система, состояние которой изменяется во времени.
а) Панельный дом – система из множества взаимосвязанных элементов (панелей) практически не меняется во времени. Это статическая система.
б) Экономика предприятия меняется в времени под действием цен, спроса, сезонов и других факторов. Это динамическая система.
Если система изменяет свое состояние во времени, то непрерывная система не может сделать этого мгновенно, а это происходит в результате некоторого процесса. В этом случае говорят, что система является инерционной.
Инерционная динамическая система может находиться в одном из трех режимах: равновесном, переходном, и периодическом.
Равновесный режим – процесс нахождения системы в равновесном состоянии, т.е. в таком, в котором она может находиться сколь угодно долго при отсутствии внешних возмущающих воздействий.
Пример – маятник, остановившийся в нижнем положении, находится в состоянии равновесия.
Переходный режим (процесс) – процесс продвижения системы из некоторого начального состояния к какому-либо равновесному состоянию.
Периодический режим – режим, при котором система через равные промежутки времени приходит в одно и то же состояние.
По способу учета зависимости поведения системы от входного воздействия различают статические и динамические ее характеристики, отражаемые в соответствующих моделях.
Статические модели (модели статики) отражают зависимость между входной и выходной величинами в равновесном режиме. Иными словами, статическая модель показывает параметры равновесного состояния, в которое со временем перейдет система после определенного входного воздействия.
Статическая модель может быть представлена зависимостью y = F(x).
а) После нажатия на педали тормоза или газа автомобиль не останавливается и не приобретает нужную скорость мгновенно, для этого нужно определенное время, но статическая модель может указать степень нажатия педали газа, необходимую, чтобы после некоторого времени автомобиль разогнался, например до 100 км/час и далее не увеличивал скорости.
Рис. 3.1. Статическая характеристика электроплиты
б) На рис. 3.1 приведена статическая характеристика электрической плиты. Входным воздействием является положение регулятора мощности N, а выходом – установившаяся температура конфорки, которая достигается через несколько минут после выставления соответствующего деления регулятора.
Динамические модели (модели динамики) показывают мгновенную реакцию системы на определенное входное воздействие.
Иными словами, они показывают все состояния, которые будет проходить система, пока не достигнет определенного равновесного состояния.
Для приведенного выше примера автомобиля модель динамики покажет изменение скорости у от времени после увеличения подачи топлива х. График этой зависимости представлен на рис. 3.2.
Устойчивость. Устойчивость характеризует одну из важнейших черт поведения систем. Она широко используется во многих научных дисциплинах, включая механику, биологию и экономику. Под устойчивостью понимают свойство системы самопроизвольно возвращаться к равновесному состоянию или циклическому режиму после устранения возмущения, вызвавшего нарушение последних. Примером механической устойчивой системы является обычный маятник. Если принудительно отклонить его от состояния равновесия (нижней точки) посредством внешней силы, то после снятия воздействия, при отсутствии сопротивления воздуха, он будет бесконечно долго находиться в колебательном режиме с постоянной амплитудой и частотой, а при наличии сопротивления будет испытывать затухающие колебания, и, в конце концов, остановится в нижней точке.
Рис. 3.2. Пример динамической зависимости выхода у (нижний график) от входа х (верхний график)
Виды модели динамики. Динамика процесса преобразования входного сигнала в выходной описывается некоторым уравнением, которое в непрерывных детерминированных системах имеет вид одного или нескольких дифференциальных уравнений.
Если в этих уравнениях имеется хотя бы один переменный во времени параметр, то мы получаем систему с переменными параметрами, в противном случае – систему с постоянными параметрами. Если какой-либо блок системы описывается дифференциальным уравнением, содержащим частные производные по пространственным координатам, (например, имеют место волновые процессы) то система называется системой с распределенными параметрами, в противном случае – системой с сосредоточенными параметрами. Линейной называется система, поведение всех блоков которой описывается линейными уравнениями. Для линейных систем выполняется так называемый принцип суперпозиции, согласно которому статическая реакция блока на сумму входных сигналов равна сумме реакций на каждый отдельный сигнал. Нелинейной называется система, в которой хотя бы в одном блоке нарушается линейность. При исследовании, расчете и синтезе непрерывных детерминированных систем следует иметь в виду, что наиболее полно разработана теория и различные прикладные методы для линейных систем постоянными сосредоточенными параметрами. Поэтому в интересах простоты расчетов всегда желательно, там, где это допустимо, сводить задачу к такой форме, которая максимально позволяет максимально использовать методы исследования таких систем.
При исследовании систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями, широко используют так называемое преобразование Лапласа. Пусть имеем некоторую функцию f(t), определенную при t ³ 0. Ее преобразованием Лапласа называют соотношение
,
ставящее функции f(t) вещественной переменной t в соответствие функцию F(s) комплексной переменной s. При этом f(t) называют оригиналом, а F(s) – изображением. Применение преобразования Лапласа позволяет свести задачу решения дифференциального уравнения к решению алгебраического уравнения.
,