Отношения между простыми категорическими суждениями по истинности. Логический квадрат
Отношения суждений по истинности позволяют определять противоположные суждения, суждения, несовместимые с ранее высказанными и, наоборот, необходимо следующие из уже доказанных.
Если в одном суждении встречается хотя бы один термин, не входящий в другое суждение, то такие два суждения несравнимы.Суждения сравнимы, если их термины совпадают.
Сравнимые суждения совместимы, если они могут быть одновременно истинны, и несовместимы, если не могут быть вместе истинными. В свою очередь, отношения совместимости делятся на отношения подчинения (субординации) и субконтрарности, а отношения несовместимости – на отношения противоположности (контрарности) и противоречия (контрадикторности). Наглядно и системно эти отношения представлены в логическом квадрате.
1. Подчинение (субординация). Частные суждения подчиняются общим. Это значит:
а) Истинность подчиняющего общего суждения влечёт истинность подчинённого частного, но не наоборот.
б) Ложность подчинённого суждения влечёт ложность подчиняющего, но не наоборот.
2. Субконтрарность. Отношение двух частных суждений (I) и (О) состоит в том, что они могут быть оба истинны, но не могут быть оба ложны. Субконтрарность означает:
а) Если одно из субконтрарных суждений ложно, то другое необходимо истинно.
б) Из истинности одного из субконтрарных суждений следует неопределённость истинности другого.
3. Противоположность (контрарность).Отношение общих суждений (А) и (Е) состоит в том, что они не могут быть одновременно истинными, но бывают оба ложны.
а) Из истинности одного суждения следует ложность другого.
б) Из ложности одного суждения следует неопределённость относительно истинности другого.
4. Противоречие (контрадикторность).Отношение пар суждений (А) – (О) и (Е) – (I) подчиняется закону исключённого третьего, т.е. истинность одного из них влечёт необходимо ложность другого, и наоборот, ложность одного – истинность другого.
Сложные суждения – это суждения, состоящие из двух и более простых суждений, соединённых логическими постоянными (союзами).
Логические константы (союзы) определяют виды сложных суждений и обозначаются специальными символами:
1) конъюнкция "и" (Ù) образует соединительное суждение (а Ù b);
2) дизъюнкция "или" (v) образует разделительное суждение (а v b);
3) строгая дизъюнкция "либо" (Ú) образует исключающе-разделительное суждение (а Ú b);
4) импликация "если..., то" (®) образует условное суждение (а® b);
5) эквиваленция "тогда и только тогда, когда" (º) образует равнозначное суждение (а º b);
6) отрицание "неверно, что" - образует отрицательное сложное суждение ( ā ) или ( ¬a).
Логические союзы могут соединять любое количество суждений, истинность сложного суждения при этом будет зависеть только от вида констант и истинности простых составляющих его суждений и не будет зависеть от содержания (смысла), количества и качества этих суждений. Истинность и ложность сложных суждений устанавливается при помощи так называемых "таблиц истинности":
1. Соединительное суждение аÙ b (конъюнкция)
а
b
a Ù b
и
и
и
л
и
л
и
л
л
л
л
л
Правило: конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинны все входящие в неё простые суждения (конъюнкты).
2. Разделительное (не исключающее) суждение а v b (дизъюнкция)
a
b
a Ú b
и
и
и
и
л
и
л
и
и
л
л
л
Правилонестрогой дизъюнкции: суждения этого вида бывают ложными только в случае ложности всех составляющих простых суждений (дизъюнктов).
3. Исключающе-разделительное суждение а v b (строгая дизъюнкция). Смысл союза "либо" - утверждение несовместимости, противоречия составляющих суждений.
Правило: строгая дизъюнкция ложна, когда совпадают значения истинности входящих в неё простых суждений, и истинна, когда они различны.
.
а
b
a Ú b
и
и
л
и
л
и
л
и
и
л
л
л
4. Условное суждение а® b (импликация). Суждение а называется в импликации основанием (антецедентом), суждение b – следствием (консеквентом).
а
b
a ® b
и
и
и
и
л
л
л
и
и
л
л
и
Правило: импликативное суждение бывает ложным тогда и только тогда, когда из истинного основания вытекает ложное следствие.
5. Эквивалентное суждение аº b (эквиваленция)
a
b
a º b
и
и
и
и
л
л
л
и
л
л
л
и
Правило: эквивалентные суждения истинны тогда и только тогда, когда значения истинности простых суждений совпадают.
6. Отрицательные суждения состоят из суждения и союза, его отрицающего. Поэтому таблица очень проста:
а
¬а
и
л
л
и
Истинность суждений отрицания устанавливается на основании закона исключённого третьего.
