Ø Идея векторной графики состоит в описании линейных фрагментов с помощью единственной формулы.
Ø Разбиение произвольных кривых на отдельные фрагменты (сегменты) разумно выполнять, учитывая следующие условия: фрагменты должны быть достаточно короткими, а формула должна обеспечивать достаточно близкую аппроксимацию кривых.
Ø Линейная зависимость обладает важным достоинством — простотой, но при этом не лишена серьезных недостатков (объекты, составленные только из прямолинейных сегментов, лишаются возможности произвольного масштабирования, для достоверной аппроксимации формы объекта потребуются десятки тысяч линейных сегментов).
Ø Неизбежной заменой прямолинейным сегментам могут быть только кривые, которые способны обеспечить требуемую гладкость (кривые Безье и NURBS).
Ø Явный способ представления функции не может применяться там, где требуется описание произвольных кривых, размещаемых в произвольных местах на плоскости.
Ø Альтернативным способом описания кривой является определение кривой как параметрической сплайновой функции.
Ø Одной из основополагающих особенностей NURBS-кривой является то, что ее форма определяется расположением множества контрольных точек (control points). Она позволяет локализовать изменение формы кривой перемещением отдельных контрольных точек без изменения формы кривой в целом.
Ø Рациональные кривые обладают двумя дополнительными свойствами (они обеспечивают корректный результат при проекционных трансформациях (например, масштабировании), их можно использовать для моделирования кривых любого вида, включая конические сечения).
Ø NURBS-кривые все же обладают существенным недостатком: расширенные возможности не могли не сказаться на сложности и на уровне инструментария для их построения.
Ø Язык описания страницы PostScript, созданный как язык управления графическими устройствами, решает задачи передачи информации между прикладными программами (графическими редакторами, программами верстки) и устройствами визуализации (лазерными принтерами, фотонаборными автоматами и цифровыми офсетными машинами).
Ø Последующее развитие языка PostScript не изменило своей основы и продолжает идти по пути интегрирования новых возможностей выводных устройств (цветная печать, системы управления цветом и т. д.).
Вопросы для конспектирования:
1. Что такое линейная дискретизация?
2. Для чего используется способ определения кривой, как параметрической функции?
3. Дайте характеристику NURBS-кривых. Подчеркните достоинства и недостатки, назовите сферы применения.
4. Какая функция называется базовой (basis function) контрольной точки?
5. Чем отличаются рациональные кривые от non-rational В - сплайнов?
Индивидуальные задания:
Составьте развернутый конспект лекции.
*** Задание выполните в рабочей тетради.
[1] Векторная графика в английской терминологии обозначается drawing или illustration.
[2] Безье (Bezier) Пьер Этьен (1910 — 1999) — французский инженер и ученый, который, поступив в 1933 году на завод Рено, с 1960-х годов начал исследования в области компьютерного моделирования, применил на практике компьютерное проектирование, теорию сплайнов трехстепенных функций, разработанных Сергеем Натановичем Бернштейном. Безье — почетный доктор многих ведущих университетов мира.
[3] Аппроксимация - от латинского слова approximo (приближаюсь); в математике это означает замену одних объектов, например: сложных функций другими, более простыми, которые являются более или менее близкими к исходным. Самый простой пример аппроксимации — это замена кривых линий совокупностью прямых, образующих ломаную линию, примерно совпадающую с исходной.
[4] Такой принцип используется в системах, связанных с режущими устройствами.
[5] Можно представить значения параметра t, как время, в течение которого происходит перемещение определенной частицы вдоль произвольной кривой, например окружности. Параметрическая функция q(t) позволит получать пары координат {х, у}, по которым перемещается частица в различные моменты (значения) времени t. Хотя, в общем случае, не обязательно параметр t связывать со временем.
[6] Кривые Безье являются специальным (частным) случаем В-сплайна.
[7] Вес в математическом смысле — это значение, важность, влияние, которое выражается особой функцией или числовым значением. Это одно из важных понятий в теории принятия решений.
Формальная логика возникает в Афинах. Ее создатели – Сократ, Платон, Аристотель.
Рафаэль "Афинская школа"
Логика - это наука о правильных рассуждениях (умозаключениях).
Логика - это наука о формах мышления (поэтому она называется "формальной").
Формы мышления:
· понятие,
· суждение,
· умозаключение
В наше время логика переживает второе рождение.
Рекомендованная литература:
Логика: Учебник для бакалавров / Отв. ред. Л.А. Демина
Логика / В. И. Кириллов, А. А. Старченко
Упражнения по логике / Кириллов В.И, Орлов Г.А., Фокина Н.И.
Дополнительная литература:
Учебник логики / Челпанов Г. И. (наиболее старый)
Введение в логику / Бочаров В.А., Маркин В.И. (МГУ)
Логика: Теория и практика аргументации / И.В. Хоменко
Помимо традиционной логики существует математическая.
Структура курса традиционной логики
1.Понятие. Виды понятий. Отношения между понятиями. Операции с понятиями.
2.Суждения. Виды суждений. Классификация атрибутивных суждений. Распределенность терминов. Рассуждения по "логическому квадрату".
3.Высказывания. Логика высказываний. Семантические таблицы истинности. Законы логики.
- форма мышления, в которой отражаются существенные и отличительные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов.
Любое понятие имеет содержание и объем
Содержание понятия - это совокупность существенных признаков предмета, которая мыслится в данном понятии (те признаки, которые в данном понятии мыслятся).
Человек – живое существо, млекопитающее, бесперое и двуногое из рода homo sapiens, имеющее мягкую мочку уха.
Объем понятия - это класс (множество) обобщаемых в нем предметов.
Объем понятия в логике принято изображать с помощью круговых схем, предложенных Л.Эйлером. Их называют круги Эйлера (диаграммы Эйлера-Венна).
Леонард Эйлер (1707-1783) – математик и логик, член Петербургской академии наук, большую часть жизни провел в России.
Между содержанием и объемом существует взаимное отношение.
Связь содержания и объема выражается в законе обратного отношения между объемом и содержанием понятия. Действует только для родовидовых понятий. Чем больше объем понятия, тем меньше признаков в его содержании. Чем больше признаков в содержании понятия, тем меньше его объем.
Отношения между понятиями на кругах Эйлера
1. Включение
Человек (А) - млекопитающее (В)
Студент (А) - учащийся (В)
2. Пересечение
Студент (А) - спортсмен (В)
Офицер (А) - мужчина (В)
3. Исключение (два понятия не имеют ничего общего)
Комета (А) - планета (В)
Раб (А) - рабовладелец (В)
4. Совпадение
Разумное существо (А) - Существо с мягкой мочкой уха (В)
5. Соподчинение (два взаимоисключающих понятия, относящиеся к одному классу)
Капитан (А) - майор (В)
Однолетнее растение (А) - многолетнее (В)
Виды понятий
- по объему
1. Общие (большинство понятий являются общим: человек, животное, студент и т.п.), единичные (только один объект, единичное событие и т.п. - Солнечная система, Луна и др.), пустые (нулевые; объем их пуст, не существуют соответствующие реальные объекты: леший, домовой; но т.к. существуют различные виды реальности, сейчас за пустые понятия считают противоречивые понятия: круглый квадрат, комариное масло и т.п.)
2. Регистрирующие (исчислимые - солдаты такой-то роты) и нерегистрирующие (неисчислимые - абстрактные)
- по содержанию
1. Конкретные (человек, кошка) и абстрактные (свойства и отношения - белизна, красота)
2. Относительные (отец, мать, север, юг) и безотносительные (существуют сами по себе - человек, стол, стул)
3. Положительные (имеют тот признак, о котором они говорят) и отрицательные (нелюди, антигуманизм)
4. Собирательные (в объем которых входят объекты - лес (сост. из деревьев), созвездье, толпа и т.п.) и несобирательные (большинство понятий)
Формально-логические отношения между сравнимыми понятиями
Понятия бывают сравнимые и несравнимые. Сравнимые понятия делятся на совместимые и несовместимые.
Совместимые понятия имеют совпадение по объему
1. Равнозначность (эквивалентность)
2. Подчинение (отношение рода и вида)
3. Пересечение (перекрещивание)
Несовместимые понятия не совпадают по объему
1. Противоположность (контрарность) – не являются одно отрицанием другого, лежат на противоположных сторонах некоего понятия (между ними что-то есть), например - черное и белое, мужчина и женщина
2. Противоречие (контрадикторность): черное - не черное, справедливое - не справедливое
3. Соподчинение (координация)
Сводная таблица отношений между понятиями
Операции с понятиями: обобщение, ограничение, определение, деление объема
Обобщение- переход от понятия с меньшим объемом к понятию с большим объемом путем отбрасывания элементов содержания.
Abcd Abc Ab A
Ограничение- обратная операция перехода от понятия с большим объемом к понятию с меньшим объемом
Определение (дефиниция) - логическая операция, которая раскрывает содержание понятия.
Dfd ≡ Dfn
где Dfd – определяемое (лат. definiendum), Dfn – определяющее (лат. definiens)
Деление объема (родовое понятие делим на совокупность видовых понятий)
Структура деления: делимое понятие, члены деления, основания деления.
Каждая операция производится по определенным правилам. Несоблюдение правил приводит к ошибкам. Распространенные ошибки: узкое определение, круг в определении, деление с лишними членами, деление не по одному основанию, метафорическое определение и др.
II. СУЖДЕНИЕ
- форма мышления, в которой утверждается/отрицается связь между предметом и его признаком или отношение между ними.
К суждению относится характеристика по истинности.
Структура суждения: S есть P (истинное суждение); S не есть P (ложное с.)
Суждение включает два термина (понятия).
Субъект – это часть суждения, которая то, о чем говорится в суждении. Субъект (от лат. subjectum – лежащий в основе) обозначается буквой S.
Предикат – то, что говорится о субъекте, признак предмета. Предикат (от лат. praedicatum - сказанное) обозначается буквой P.
Логическая связка (оператор) – третий элемент суждения, с ее помощью обозначается утверждение или отрицание принадлежности предмету признака. Утвердительная связка обозначается словом «есть», отрицательная – «не есть».
Квантор – четвертый элемент суждения, служит для обозначения количества элементов в объеме предмета суждения (субъекта). Квантор (от лат. quantum – сколько). Для обозначения полного объема субъекта используют: в утвердительных суждениях квантор «все», в отрицательных суждениях квантор «ни один». Для обозначения части объема субъекта (любой части – большой, маленькой) используют квантор «некоторые».
Пример простого суждения: Сократ – грек (похоже на повествовательное предложение, но повествовательное предложение не имеет такой четкой структуры).
Виды простых суждений:
1) атрибутивные (категорические суждения: S суть P),
2) суждения с отношениями (S находится в некотором соотношении с P: Иван – брат Петра),
Логика Аристотеля рассматривает в основном только категорические атрибутивные суждения.
Классификация категорических суждений
1. Общеутвердительные суждения (типа А), от лат. affirmo – «утверждаю»: А. Все S есть P
2. Частноутвердительные суждения (типа I), от лат. affirmo – «утверждаю»:
I. Некоторые S есть P
3. Общеотрицательные суждения (типа E), от лат. nego – «отрицаю»:
E. Ни одно S не есть P
4. Частноотрицательные суждения (типа О), от лат. nego – «отрицаю»:
О. Некоторые S не есть P
Единичные суждения (как утвердительные, так и отрицательные; например: «Сократ смертен») ведут себя как соответствующие общие суждения.
Распределенность терминов в категорических суждениях
Термин считается распределенным, если он взят или исключен во всем объеме. В иных случаях термин является нераспределенным.
Тип задачи: Какие термины на схемах являются распределенными, а какие нет?
В частноотрицательных суждениях субъект не распределен, предикат распределен.
В общеотрицательных суждениях субъект и предикат распределены.
В частноутвердительных суждениях не распределены ни субъект, ни предикат.
В общеутвердительных суждениях распределенным является только субъект.
Некоторые люди не являются умными – частноотрицательное суждение (В - умные).
Традиционная логика помимо четырех типов суждения выделяет еще два вида: Все S, и только S, есть P. Некоторые S, и только S, есть P.
Сводная таблица распределенности терминов
Вид суждения
Схема
S
P
Примеры
A
Все S есть P
Все S, и только S, есть P
+
+
–
+
Все студенты – учащиеся
Все студенты – учащиеся высших учебных заведений.
I
Некоторые S есть P
Некоторые S, и только S, есть P.
–
–
–
+
Некоторые студенты изучают логику.
Некоторые христиане – католики.
E
Ни одно S не есть P
+
+
Ни один мухомор не съедобный гриб.
O
Некоторые S не есть P
–
+
Некоторые студенты отличники.
Рассуждения по «логическому квадрату»
Логический квадрат – схема, с помощью которой иллюстрируются отношения между простыми суждениями по их истинности. Логический квадрат создан в ХI в. византийским логиком Михаилом Псёллом.
А
Противоположность
(контрарность)
Е
п
о
д
ч
и
н
е
н
и
е
п
о
д
ч
и
н
е
н
и
е
I
Частичная совместимость
(субконтрарность)
O
Между А и Е существует отношение контрарности (т.е. А и Е могут быть вместе быть ложными, но не могут быть вместе истинными => если одно истинно, то второе ложно). Например: Все люди глупы. Ни один человек не является глупым.
Между А и I и между Е и О есть отношение подчинения (если А истинно, то I истинно, но если I ложно, то и А ложно).
Отношение контрадикторности между А и О, Е и I (всегда одно из них ложно, другое истинно).
Отношения субконтрарности (частичной совместимости) между I и О. Частные суждения (I и O) могут быть вместе истинными, но если одно из них ложно – второе истинно.
Для решения задачи по квадрату необходимо сначала определить, истинно или ложно исходное суждение. Однако не всегда суждение можно провести от начала и до конца (если I истинно, E ложно – невозможно получить больше никакой информации).
Сводная таблица отношений между суждениями по «логическому квадрату»
A
E
I
O
A
и
–
л
и
л
A
л
–
н
н
и
E
и
л
–
л
и
E
л
н
–
и
н
I
и
н
л
–
н
I
л
л
и
–
и
O
и
л
н
н
–
O
л
и
л
и
–
III. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ – дедуктивные умозаключения, которые делаются из одной посылки.
Превращение – когда мы из утвердительного суждения делаем отрицательное (предполагает вставку двух отрицаний). Часто при таких умозаключениях получается новое суждение.
А. Все S суть P. Ни одно S не суть не-P.
I. Некоторые S суть P. Некоторые S не суть не-P.
Е. Ни одно S не суть P. Все S суть не-P.
O. Некоторые S суть P. Некоторые S суть не-P.
Обращение (меняем местами субъект и предикат)
А. Все S есть P
Некоторые P есть S.
Е. Ни одно S не есть P.
Ни одно P не есть S.
I. Некоторые S есть P.
Некоторые P есть S.
А. Все S, и только S, есть P.
Все P есть S.
I. Некоторые S, и только S, есть P.
Все P есть S.
О. Частноотрицательные суждения не обращаются
+ Противопоставление предикату, умозаключения по «логическому квадрату»
ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Огастес (Август) Де Морган, Бертран Рассел и др.
Базовые понятия:
Высказывание, значением которого является истина/ложь, пропозициональная переменная, значением которой является высказывание, и пропозициональная формула.
Язык логики высказываний состоит только из правильно построенных формул (ППФ).
Правила построения формул
1. p, q, r, s – ППФ;
2. Если А – ППФ, то Ā – ППФ;
3. Если А и В – ППФ, то (A&B), (A˅B), (А→В), (А≡В) – ППФ;
4. Ничто иное не является ППФ.
Семантические таблицы истинности
А
В
(A&B)
(A˅B)
(А→В)
(А≡В)
И
И
И
И
И
И
И
Л
Л
И
Л
Л
Л
И
Л
И
И
Л
Л
Л
Л
Л
И
И
конъюнкция дизъюнкция импликация эквиваленция
Конъюнкция (от лат. conjunctio – союз, связь) соответствует союзу «и». С ее помощью образуется соединительное (конъюнктивное) суждение из двух или нескольких простых.
Дизъюнкция (от лат. disjunctio – разобщение, различение)соответствует союзу «или». С ее помощью образуется разделительное (дизъюнктивное) суждение из двух или более простых.
Импликация (от лат implico – тесно связываю) соответствует союзу «если… то». С ее помощью образуется условное или импликативное суждение из двух простых.
Эквиваленция ( от лат. aequalis – равный и valentis – имеющий силу) соответствует таким словам: «эквивалентно (равносильно)», «если и только если», «тогда и только тогда, когда».
Законы логики
1) Закон тождества
«В процессе определенного рассуждения всякое понятие и суждение должны быть тождественны самим себе».
2) Закон непротиворечия
«Два противоположных суждения не могут быть истинными в одно и то же время и в одном и том же отношении».
a ˄ ā
3) Закон исключенного третьего (лат. tertium non datur)
«Из двух противоречащих суждений одно истинно, другое ложно, а третьего не дано».
a ˅ ā
4) Закон достаточного основания
«Всякая истинная мысль должна быть достаточно обоснованной».
Законы логики: тождественно истинные формулы
Законы де Моргана
‾(А ˅ B) = ‾A & ‾B
‾(А & B) = ‾A ˅ ‾B
Законы дистрибутивности
(A & B) ˅ (A & C) = A & (B ˅ C)
(A ˅ B) & (A ˅ C) = A ˅ (B & C)
Законы исключения
(A ˅ B) & (‾А ˅ B) = В
(A & B) ˅ (‾А & B) = В
Законы поглощения
А ˅ (А & B) = A
A & (A ˅ B) = A
Решение задач по логике высказываний
А→(В→А)
А
В
В→А
А→( )
И
И
И
И
И
Л
И
И
Л
И
Л
И
Л
Л
И
И
Ф.1 (А→В)→( ךВ→ ךА)
Ф.2 (А→В)→( ךА→ ךВ)
А В
(А→В)
ך В→ ךА
ך А→ ךВ
И И
И
И И
И И
И Л
Л
Л И
И И
Л И
И
И И
Л Л
Л Л
И
И И
И И
А&Ā→B
Из противоречия следует все, что угодно
А&Ā
В
Л
И
И
Л
Л
И
В математике повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся математических обозначений, соответствующие команды в TeXе, объяснения и примеры использования.
Кроме указанных символов, иногда используются их зеркальные отражения, например, обозначает то же, что и
Знаки операций или математические символы — знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами.
К самым распространённым относятся:
· Плюс: +
· Минус: −
· Знаки умножения: ×, ∙ (в программировании также *)
· Знаки деления: :, ∕, ÷
· Знак равенства, приближённого равенства, неравенства: =, ≈, ≠
· Скобки (для определения порядка операций и др.): (), [], {}, <>
· Знак тождественности: ≡
· Знаки сравнения: <, >, ≤, ≥, ≪, ≫
· Знак порядка (тильда): ~
· Знак плюс-минус: ±
· Знак корня (радикал): √
· Факториал: !
· Знак интеграла: ∫
· Знак возведения в степень: ^ (в типографской и рукописной записи формул не применяется; используется в программировании, наряду с более редкими символами ↑ и **, а также в «линейной» текстовой записи формул).
1. Включение
2. Пересечение
3. Исключение (два понятия не имеют ничего общего)
4. Совпадение
5. Соподчинение (два взаимоисключающих понятия, относящиеся к одному классу)
1. Противоположность (контрарность) – не являются одно отрицанием другого, лежат на противоположных сторонах некоего понятия 
2. Противоречие (контрадикторность): 
Abcd Abc Ab A
2. Частноутвердительные суждения (типа I), от лат. affirmo – «утверждаю»:
E. Ни одно S не есть P
О. Некоторые S не есть P
Некоторые люди не являются умными – частноотрицательное суждение (В - умные).
п
о
д
ч
и
н
е
н
и
е
a ˄ ā
обозначает то же, что и 
