Л. Больцман

Течение среды Бингама в круглой трубе

Задачи.

Решение.

Пример.

Найти давление в головке экструдера при формовании плоской полиэтиленовой пленки шириной 1 м посредством плоскощелевой головки. Зазор между губками фильеры 0,4 мм. Протяженность губок 2 см. Средняя скорость расплава 2 см/с. Реологические параметры μ_о=10³ Па^.сⁿ, n=0,7.

Используем следующую расчетную формулу

.

Откуда

- μ_о .

Учитывая соотношение dP/dx=-ΔP/l, можем записать

Δl μ_о .

Отсюда можно найти избыточное давление в головке

.

Учитывая равенства 2h=0,4^.10^-3 м, v_c=0,02 м/с, Q=2hv_c B=0,4^.10^-3.0,02= =8^.10^-6, l=0,02 м, подставим численные значения в расчетную формулу

Δ0,02 10³ .

.

1. Найти давление в головке экструдера при формовании трубчатой заготовки диаметром 0,05 м. Радиальный зазор в формующей головке 4 мм. Протяженность губок 2 см. Средняя скорость расплава 2 см/с. Реологические константы расплава μ_о=10³ Па^.сⁿ, n=0,7.

Много ли есть людей, которые, любуясь игрой волн на поверхности ручейка, думают, как найти уравнения, по которым можно было бы вычислить форму волнового гребня?

Рассматриваемая задача имеет широкое приложение. Например, процессы транспортировки текучих высоконаполненных систем по трубопроводам в пищевой, химической, нефтехимической промышленности и др.

Считаем течение ламинарное, установившееся, изотермическое. Схема течения представлена на рис. 1.15. Принята цилиндрическая система координат. Ось z совпадает с осью трубы, ось r направлена по радиусу. В осевом направлении действует постоянный градиент давления.

Уравнение движения в цилиндрических координатах имеет вид

Проинтегрируем уравнение движения с учетом равенства нулю касательных напряжений на оси трубы (r=0, t=0). Имеем

.

Таким образом, для касательного напряжения получаем уравнение

.

Имеем линейное распределение касательных напряжений в поперечном сечении трубы.

Радиальную координату зоны пластического ядра r_o найдем из условия |t_rz|=t₀

,

откуда радиус ядра

.

Здесь учитывалось соотношение dP/dz<0.

Видно, что радиус ядра зависит от соотношения предельного касательного напряжения (реологическая константа) и градиента давления. При r₀=R ядро занимает все сечение канала, а величины градиента давления недостаточно для течения. При этом давление (давление трогания, начала течения) определяется выражением dP/dz=-2t₀/R.

Подставим t из реологического уравнения (учитываем, что t_rz <0, dv_z/dr<0 при r>0)

,

в интеграл уравнения движения. Имеем

.

Проинтегрируем полученное уравнение в пределах зоны градиентного течения (r_o<r<R), где касательное напряжение превышает предельное

.

Постоянную с₁ находим из условия прилипания жидкости к стенке канала u_z=0, при r =R. Для постоянной интегрирования получим следующее выражение

.

Подставив найденное значение постоянной в выражение для осевой скорости, найдем профиль скорости в зоне градиентного течения

.

Скорость ядра определяется из условия . C учетом соотношения , имеем

.

Объемный расход складывается из «расхода ядра» цилиндрической формы и расхода жидкости в градиентной области течения

.

Подставив в это выражение формулу для осевой скорости и выполнив интегрирование, запишем

. После несложных алгебраических преобразований получим известную формулу Бакингема

.

Согласно расчетной формуле зависимость расхода от градиента давления носит нелинейный характер, чем существенно отличается от случая течения вязкой ньютоновской жидкости.

Последняя формула была получена Бакингемом в 1921 г. и представляет собой обобщение уравнения Гагена-Пуазейля, которое применяется для ньютоновских жидкостей (): .