Основные понятия и определения математического программирования

Оглавление

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Л.В. ВОДОЛАЗСКАЯ, В.С. ПЕЦЕВИЧ

Краткий курс лекций

Допущено Учебно-методическим объединением по образованию

в области производственного менеджмента

в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся

по специальности 060800 – Экономика и управление на предприятии АПК

ОМСК 2003

УДК 519.86: [330+364]

В 62

Водолазская Л.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов (Краткий курс лекций): Учеб. пособие / Л.В. Водолазская, В.С. Пецевич. – Омск: Изд-во ОмГАУ, 2003. – 112 с.

ISBN 5-89764-085-8

Учебное пособие написано в соответствии с программой курса. В нем представлены девять лекций, первая из которых является обзорной, три другие посвящены методам математического программирования (симплексный и распределительный методы). Последние пять лекций раскрывают принципы построения основных экономико-математических моделей, таких, как оптимизация посевных площадей овощных и зерновых культур, оптимизация рационов кормления животных, кормопроизводства, специализации производства и сочетания отраслей и их прикладного использования. На конкретном материале рассмотрены вопросы подготовки исходной информации, построения модели, экономико-математического анализа результатов решения задачи.

Рассчитано на студентов заочного отделения экономического факультета сельскохозяйственного вуза по специальности 060800 – Экономика и управление на предприятии АПК.

Табл. 54, ил. 3, библиогр. сп. 15 назв.

Рецензенты: директор Омского филиала заочного Московского финансово-экономического института д-р экон. наук, проф. А.Д. Косьмин;

начальник отдела реформирования Главного управления сельского хозяйства администрации Омской области канд. экон. наук, доц. Д.Ю. Смирнов

ISBN 5-89764-085-8 © Л.В. Водолазская, В.С. Пецевич, 2003

© ФГОУ ВПО ОмГАУ, 2003

Предисловие

Важнейшей задачей развития экономики на современном этапе является резкое повышение эффективности сельскохозяйственного производства. Чтобы решить ее, необходимо коренным образом улучшить управление сельскохозяйственным производством на всех уровнях руководства и систематически совершенствовать методы экономических исследований. Теперь при разработке управленческих проблем уже нельзя опираться только на интуицию и практический опыт. Экономическая наука не может концентрировать свое внимание только на качественном анализе сельскохозяйственного производства, не вскрывая количественных закономерностей его развития. В этой связи актуальны разработка и применение экономико-математических методов и моделей для решения возникающих производственно-хозяйственных задач, определения и выбора вариантов экономического развития на перспективу, обеспечения оптимального распределения ресурсов для выполнения отдельных комплексов работ и т.п. Однако применение математических методов, моделей и вычислительной техники в научных исследованиях и повседневной практике сопряжено с определенными трудностями. Для решения этих задач нужны специалисты и руководители сельскохозяйственного производства, которые хорошо знали бы экономику, математические методы, их техническую базу - современную вычислительную технику – и могли бы применить их в своей работе.

Этими эффективными инструментами экономического анализа и планирования должны овладеть студенты, обучающиеся на экономических факультетах сельскохозяйственных вузов. Они изучают курс «Моделирование социально-экономических процессов». Ведущая роль в учебном процессе принадлежит лекциям. В соответствии с учебным планом, для студентов заочного отделения на лекции по данной дисциплине отводится 14 часов, а на практические занятия 16 часов. В конце изучения курса студентами по специальности «Экономика и управление» (060800) должна быть написана курсовая работа и сдан экзамен, а студентами специальности «Бухгалтерский учет и аудит» (060500) – контрольная работа и получен зачет. За такой короткий промежуток времени невозможно рассмотреть курс в полном объеме. Поэтому коллективом кафедры информационных технологий и моделирования было написано данное учебное пособие. Представленный в нем материал основан на теоретических разработках известных ученых в области экономико-математического моделирования, таких как Браславец М.Е. (3,4), Кравченко Р.Г. (4), Гатаулин А.М. (8), Карпенко А.Ф. (12) и на многолетнем опыте и разработках преподавателей кафедры (9,10,11). Это краткий курс лекций, в нем отражены только ключевые моменты. Рассмотрение остального материала изучаемого курса отводится на самостоятельную подготовку.

Задача настоящего учебного пособия заключается в том, чтобы научить студентов приемам постановки, моделирования и решения экономико-математических сельскохозяйственных задач на разном уровне планирования; помочь студентам рационально организовать самостоятельную работу и лучше усвоить основные вопросы применения экономико-математических методов и моделей в организации и планировании сельскохозяйственного производства, распределении и оптимизации ресурсов, анализе и обработке данных, прогнозировании последствий, а также в принятии эффективных управленческих и инвестиционно-финансовых решений. После изучения представленного материала можно смело браться за первоисточники и углублять свои знания в области экономико-математического моделирования, руководствуясь методическими рекомендациям данного пособия.

Методические рекомендации

Уважаемый читатель! В данном пособии рассматриваются основные экономико-математические методы и модели экономических процессов, объектом исследования которых являются производственные системы и, прежде всего, их управленческий аспект.

Вопросы выявления внутренних структур систем управления, исследования закономерностей и взаимосвязей в этих системах не изучаются в курсе математического моделирования. Эти задачи решают другие экономические науки. Поэтому в учебном плане данному курсу предшествует изучение математики, технике вычислений и механизации учета, статистики, экономической теории, экономики и планирования сельскохозяйственного производства. Задача же моделирования состоит в математической формализации закономерностей, информационно отображающей поведение реальной системы.

В связи с большим объемом материала и ограниченностью времени, отводимого на лекционные занятия, в данный источник вошли десять лекций. Логическую структуру представленного материала можно представить схематично (рис.1). После каждой лекции идут контрольные вопросы, ответы на которые помогут вам убедится в способности овладения данным разделом курса. В конце учебного пособия имеется терминологический словарь. В случае если Вам встретился незнакомый термин, обратитесь туда. Библиографический список литературы поможет Вам подобрать необходимую учебную литературу, в которой найдете недостающую информацию по изучаемой дисциплине.

Знания, полученные из первой лекции, помогут Вам сориентироваться в мире экономико-математических методов, моделей и задач. После того как овладеете основными понятиями и определениями, Вы сможете разобраться в специальном материале данного курса, касающегося решения задач методами линейного программирования и разработки экономико-математических моделей.

Вторая, третья и четвертая лекции посвящены основам линейного программирования. Их цель – практически ознакомить Вас с программой расчетов по основным методам линейного программирования. Поэтому опущены теоретические доказательства оптимизации решения и некоторые другие теоретические положения. И приводятся только те из алгоритмов решения задач симплексным, модифицированным симплексным и распределительным методами линейного программирования, которые мы считаем наиболее простыми для практического применения. При этом следует обратить внимание, что при решении задач в симплексных таблицах, может получиться так, что в столбце свободных членов появился отрицательный элемент. Это недопустимый факт, который является следствием либо неточного арифметического пересчета, либо неправильного выбора разрешающего элемента в предыдущей таблице.

Знания, полученные в ходе изучения материала этих лекций, помогут Вам при решении первых двух заданий в контрольной работе и подготовке к экзамену.

Лекции с пятой по девятую имеют одинаковую структуру, соответствующую основным этапам моделирования, и раскрывают принципы построения основных экономико-математических моделей и их прикладного использования. В начале каждой лекции помещены краткие теоретические сведения и методические указания, необходимые для составления конкретной экономико-математической модели. Затем дается подробное решение типовой задачи с краткими пояснениями теоретических положений. В связи с тем, что в лекциях не приводятся результаты решения представленных моделей, раздел, посвященный анализу оптимальных решений, дан кратко. То есть, представлены образцы таблиц необходимых для проведения анализа, и указано направление анализа.

Эти лекции помогут Вам при выборе темы и разработке курсовой работы или выполнении третьего задания контрольной работы.

Лекция 1- Основные понятия и определения

Лекции 2-4Основные экономико-математические методы

Лекции 5-9Основные оптимизационные экономико-математические модели

2Симплексный метод

3Метод искусственного базиса

4Рапределительный метод

5Оптимизация структуры посевных

6Оптимизация структуры посевных

7Оптимизация суточных рационов

8 Оптимизация производс

9Оптимизация плана производст

площадей овощных культур

площадей зерновых культур

кормления животных

твенно-отраслевой структуры

ва кормов

Рис. 1 Логическая структура курса лекций

В каждой лекции есть раздел посвященный сбору исходной информации. Обратите особое внимание на него при подготовке конкретного материала для разработки экономико-математической модели в курсовой или контрольной работах.

Чтобы не перегружать Вас вычислениями, а сосредоточить внимание на теоретических и методических вопросах, модели были составлены на примере упрощенных экономико-математических задач. Эти задачи недостаточно реальны с точки зрения использования результатов расчета в практической деятельности, но их элементарность компенсируется наглядностью и легкостью понимания способов решения. Если эта цель будет достигнута, то Вы, несомненно, сможете на практике самостоятельно решать и сложные экономико-математические задачи. При этом, пользуясь имеющимися на кафедре разработками, можно решить конкретные экономико-математические задачи на компьютере с применением программного комплекса «Линейная оптимизация».

Десятая лекция заключительная и посвящена перспективным направлениям развития математического моделирования. Она позволит Вам расширить знания по изучаемой дисциплине в плане современного подхода.

Введение

Применение современных математических методов обеспечивает переработку информации и ее качественный анализ на основе глубокого количественного анализа. В этом заключается принципиально новое явление в экономической науке, позволяющее ей подняться на новую высоту и обеспечить совершенствование управления производством.

Характерно, что бурное развитие математики всегда происходило под влиянием какой-либо науки. Развитие математики в конце Х1Х и начале ХХ веков складывалось главным образом под влиянием запросов теоретической физики.

Экономическая наука с момента ее становления широко пользовалась математическими методами. По мере возрастания требований экономической науки математика разрабатывала и предлагала новые методы. Возникла необходимость создания специальных методов, которые, используя некоторые математические дисциплины, позволили бы обеспечить более рациональное использование ресурсов. Появление электронно-вычислительных цифровых машин форсировало создание новых математических методов, в том числе математического программирования. Из методов, объединяемых общим классом математического программирования, важнейшее значение приобрели методы линейного программирования, впервые разработанные у нас в стране академиком Л.В. Канторовичем. Особую роль в разработке и развитии концепции оптимального планирования и управления народным хозяйством и его отраслями сыграли фундаментальные работы В.С. Немчинова, В.В. Новожилова, В.М. Глушкова, А.И. Берга и др.

Экономико-математическое моделирование как научное направление сформировалось в основном в конце 60-х - начале 70-х годов. Этому способствовало бурное развитие экономико-математических методов, обеспечивающих принятие наиболее рациональных решений по планированию и управлению производством. Побудительным мотивом к поиску новых методов системного отражения сложных взаимосвязей производства в планах и оперативном управлении явилось также ужесточение требований к повышению эффективности использования природных ресурсов. Появление быстродействующих электронно-вычислительных машин облегчило внедрение математического моделирования в практику.

Количество всевозможных конкретных моделей почти также велико, как и число проблем, для решения которых они разработаны. Подробное их рассмотрение выходит за рамки настоящего учебника, поэтому назовем наиболее распространенные – модели линейного программирования. Эти модели применяют для нахождения оптимального решения в ситуации распределения дефицитных ресурсов при наличии конкурирующих потребностей. Например, с помощью модели линейного программирования управляющий производством может определить оптимальную производственную программу, т.е. рассчитать, какое количество продукции каждого вида следует производить для получения наибольшей прибыли при известных объемах ресурсов и при наименьших производственных затратах.

Таким образом, овладение методами моделирования экономических и производственных ситуаций, принятия на их основе решений по управлению деятельностью предприятия является необходимым условием обеспечения эффективности их функционирования.

Лекция 1

Основные понятия и определения

На производстве специалисты часто сталкиваются с проблемой выбора наилучшего варианта решения планово-экономических задач.

Решить эту проблему помогает наука, занимающаяся разработкой теории и методов обоснования выбора наилучших вариантов плана из множества возможных. Она получила название математическое программирование. Слово «программирование» означает выбор лучшей программы производства, лучшего плана. Но «лучший» в зависимости от чего? Прежде всего, от конкретной цели производства. Цель обязательно выражается количественным показателем (стоимость валовой продукции, сумма затрат и т.д.). Этот показатель называется критерием оптимальностиплана и задается математически в виде некоторой целевой функции (функционала). Таким образом, решение планово-экономических задач сводится к нахождению либо максимального, либо минимального значения, другими словами, экстремального значения критерия оптимальности.

В практике наиболее широкое распространение получили планово-экономические задачи, в которых условия производства и критерий оптимальности могут быть представлены в виде системы линейных уравнений и неравенств. Такого рода задачи изучаются в теории линейного программирования. Линейное программирование – наиболее обширный, хорошо изученный и практически важный раздел математического программирования. Линейное программирование включает общие (симплексный и его модификации) и специальные (распределительный и его модификации) методы. Что же понимают под методами?

Методами линейного программирования можно решать экономические проблемы, которые удовлетворяют следующим условиям:

1. Все экономические, технологические, социальные и другие требования, определяющие оптимальное решение проблемы, должны допускать их математическую формулировку в виде линейных уравнений и неравенств.

2. Система линейных соотношений, характеризующая все условия данной проблемы, должна иметь множество допустимых решений, т.е. прежде всего сама экономическая проблема должна допускать альтернативные решения.

3. Основная цель, которую нужно достичь в результате решения проблемы, должна быть четко выражена экономически и сформулирована в виде линейного соотношения.

В настоящее время существует ряд методов решения задач линейного программирования. Основным из них является симплексный метод. Это наиболее используемый на практике метод решения задач оптимального программирования. Для этого метода разработаны стандартные и специальные программы решения задач на ПЭВМ. Этот метод имеет возможность логической и математической проверки и корректировки результатов решения задач. Он обеспечивает органическую и автоматическую проверку и увязку всех балансовых соотношений исследуемого объекта, что особенно важно для решения плановых задач, и, наконец, дает возможность просчета различных оптимальных вариантов решения задачи по различным критериям оптимальности. В его основе лежит алгоритм симплексных преобразований системы, дополненный правилом, обеспечивающим переход не к любому, а к «лучшему» опорному решению.

Но встречаются такие задачи, когда число переменных значительно превосходит число ограничений, и процесс приведения системы ограничений к единичному базису является неоправданно громоздким. В таких случаях особенно удобен метод искусственного базиса (модифицированный симплексный метод или М-метод).

Первой операцией в процессе решения задач симплексным методом является преобразование неравенств в равенства (приведение системы в канонический вид). Делается оно путем введения во все неравенства дополнительных переменных. Эти дополнительные переменные, введенные в соответствии с требованиями алгоритма симплекс-метода, имеют определенный экономический смысл.

Дополнительные переменные, введенные в ограничения типа меньше либо равно (£), равны разности между правой и левой частями ограничения неравенства и означают недоиспользование ресурсов (недовыполнение объема ограничений): недоиспользование ресурсов пашни, труда, материально-денежных средств и т.д.

Дополнительные переменные, введенные в ограничения типа больше либо равно (³), равны разности между левой и правой частями ограничения неравенства и означают количество продукции или ресурса сверх минимальной границы (перевыполнение объема ограничений). Например, перевыполнение плана продажи государству некоторого вида продукции.

Следует отметить, что экономическая интерпретация дополнительных переменных сугубо конкретна для каждой задачи, для каждой переменной.

Общие методы линейного программирования (симплексный, М-метод и др.) в принципе дают возможность решить любую задачу, однако, как правило, это решение сопряжено со значительными и трудоемкими расчетами. Поэтому представляет интерес выделение отдельных классов задач, решение которых можно получить с помощью приспособленных для них более простых специальных вычислительных методов. Наиболее широким классом таких задач являются так называемые транспортные задачи. Транспортными задачами называются задачи определения оптимального плана перевозок груза из данных пунктов отправления в данные пункты потребления. Решение транспортных задач осуществляется специальным методом – методом потенциалов (модифицированный распределительный метод или метод «МОДИ»). Он основан на той же идее последовательного улучшения решения, что и симплексный метод, но учитывает специфические свойства математической модели транспортной задачи.