Опустить

Метод центра тяжести для синглтонов (одноточечных множеств)(COGS)

Лекция 12

Дефаззификация

Результирующее нечеткое множество выхода, определяемое функцией принадлежности, показанной на рис. 2.8 (внизу справа) и на рис. 2.10 (крайнее справа) должно быть преобразовано в четкое число (другими словами, качественная информация должна быть преобразована в количественную), которое может быть использовано как физическое значение управляющего сигнала. Такая операция называется дефаззификацией и на рис. 2.10 абсцисса точки, определяющей позицию белой разделительной линии, дает значение управляющего сигнала u = -35,9. Таким образом, результирующее нечеткое множество выхода «дефаззифицируется» в четкий управляющий сигнал.

Рис. 2.8

Рис. 2.10

Существуют несколько методов дефаззификации.

Центр тяжести (COG).В этом методе четкий выходной сигнал (белая линия на рис. 2.10) есть абсцисса центра тяжести функции принадлежности результирующего нечеткого множества выхода

, (2.33)

где − текущая точка в дискретном универсуме, − соответствующее значение степени принадлежности, Q – число элементов в дискретном универсуме для управляющего сигнала. Выражение можно интерпретировать как взвешенное среднее значение элементов в опорном множестве. Разумеется, перед использованием формулы (2.33) надо осуществить дискретизацию

Для непрерывного случая суммирование заменяется интегрированием

. (2.34)

Здесь − функция принадлежности нечеткого множества выхода после операции аккумуляции.

Этот метод является весьма полезным методом. Однако его вычислительная сложность, особенно применительно к (2.34), относительна велика. Его также называют центроид площади.

Специальный случай лингвистической модели получается, когда нечеткие множества B_i заключений (выхода), в данном случае управляющего сигнала являются синглтонами (одноточечными множествами). Такие множества представляют собой просто вещественные числа s_i ,что приводит к следующим правилам

Если x₁ есть A₁_i и x₂ есть A₂_i и … x_r есть A_ri , то u есть s_i, .

Эта модель называется синглтонной моделью. Более простая версия формулы (2.33) (метод нечетких средних) обычно используется для определения четкого выхода такой модели:

. (2.35)

Здесь позиция i-го синглтона в универсуме выхода, равно возбуждающей силе i-го синглтона, N- число правил. По формуле (2.35) для рассмотренного в на рис. 2.8 примера было вычислено четкое значение управляющего сигнала, равное -60,5. Оно представлено синглтоном в виде тонкой вертикальной линии на рис.2.8 (крайний нижний ряд справа).

Этот метод дефаззификации относительно предпочтителен с точки зрения вычислительной сложности и к тому же u − функция, дифференцируемая в отношении синглтонов , что благоприятно с точки зрения его (метода) использования в нейронечетких системах (см. ниже).

Заметим, что синглтонная нечеткая модель принадлежит к общему классу аппроксимирующих функций (аппроксиматоров), называемых разложением на базисные функции и имеющих вид

Большинство структур, используемых для идентификации нелинейных систем, таких, как искусственные нейронные сети, нейронные сети с радиальными базисными функциями или сплайны принадлежат к этому классу аппроксиматоров. В синглтонной модели для r входов базисными функциями являются нормализованные степени истинности (возбуждающие силы) правил

и постоянными являются заключения (синглтоны) правил.

Теорема об универсальной аппроксимации.

Используя теорему Стона-Вейерштрассса, Ванг (1992) показал, что нечеткая логическая модель в форме

Если x есть Ai и y есть Bi,то z есть Ci, i = 1, . . . , n

• сгауссовскими функциями принадлежности

, ,,

• синглтонной фаззификацией

и ,

• нечеткой конъюнкцией в виде алгебраического произведения

• нечеткой импликацией в виде алгебраического произведения

• дефаззификацией в форме центра тяжести

где является центром (ядром) ФП , представляют собой универсальные аппроксиматоры, т.е. они могут аппроксимировать любую функцию на компактном (замкнутом) множестве с произвольной точностью, а именно, он доказал следующую теорему.

Теорема. Для данной вещественно значимой непрерывной функции g на компактном (замкнутом) множестве U и заданном произвольном >0, существует нечеткая логическая модель с выходом f таким, что

Биссектриса площади (BOA). В этом методе u =, где значение определяется из уравнения

. (2.36)

Из (2.36) следует, что uравняется абсциссе вертикальной линии, которая делит площадь под кривой выходной переменной на две равные части. В (2.36) x − текущее значение точки в универсуме, − функция принадлежности выхода, Min − левое крайнее значение универсума, Max − правое крайнее значение универсума. Вычислительная сложность этого метода относительно высока, и, кроме того, он может породить сомнения, касающиеся конечного результата. Например тогда, когда нечеткое множество выхода содержит два синглтона с равными степенями истинности, симметрично расположенных относительно нулевого значения. Отсюда можно сделать вывод, что в дискретном случае этот метод применять нельзя.

Метод среднего максимума (MOM). Интуитивный подход − выбрать управление, которое соответствует максимальному значению степени принадлежности выхода, т.е. выбрать наиболее правдоподобное управление. Может случиться, что существует несколько таких максимумов и общий подход − выбрать среднее из значений выхода, соответствующих этим максимумам. Такой метод игнорирует форму функции принадлежности выхода, но обладает относительно невысокой сложностью.

Метод левого максимального значения (LM) и метод максимального правого значения (RM). Другая возможность − выбрать управление, соответствующее крайнему левому максимуму (LM) или крайнему правому (RM) максимуму функции принадлежности выходной переменной. В случае когда объектом управления является робот, он должен выбрать между направлениями движения налево или направо, чтобы избежать столкновения с препятствием, находящимся перед ним. При этом дефаззификатор должен выбрать одно из этих направлений, но ни в коем случае не направление между ними.