Арифметические действия со сходящимися последовательностями

Мы будем рассматривать здесь бесконечные последовательности вещественных чисел. Бесконечную последовательность х, х, … , х, … будем обозначать через , иногда через . Числа х, образующие последовательность, называют членами этой последовательности. Эти числа не обязательно все попарно различны, некоторые из членов последовательности с разными номерами могут быть одинаковы- ми числами. Возможен и такой случай, когда все члены последовательности равны одному и тому же числу ; такие последовательности называют стационарными.

Последовательность называют ограниченной сверху (ограниченной снизу), если существует число М такое, что все члены последовательности не больше (не меньше ) числа М. Последовательность называют ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Последовательность {x _k} называют возрастающей ( убывающей) последова- тельностью, если при всех k Î N справедливо ().

Последовательность называют неубывающей (невозрастающей) последо- вательностью, если при всех k Î N справедливо ().

Последовательности неубывающие и невозрастающие называют монотонными последовательностями. Те из монотонных последовательностей, которые возрастают или убывают, называют строго монотонными.

Пусть задана последовательность {x _k} и пусть n – некоторое натуральльное число. Бесконечную последовательность , , ¼ , , ¼ назовем остатком последовательности и обозначим через . Остаток последовательности – это бесконечная последовательность, полученная в результате отбрасывания некото- рого конечного количества первых членов исходной последовательности

3.2. Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Пусть задана некоторая последовательность и пусть a – некоторое число, т.е. a Î R.

Определение 1. Число a называют пределом последовательности , если для любого положительного числа e существует натуральное такое, что все члены последовательности , номера k которых превышают , удовлетворяют неравенству .

Ниже мы часто будем прибегать к следующей компактной записи условия определения 1:

"e > 0 "k Î N .

Эту строчку можно прочесть так : для любого положительного ε существует натуральное такое, что при всех натуральных k , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство

Если a удовлетворяет этому определению, то будем записывать а или и будем говорить, что последовательность стремится к a или сходится к a

Пусть a – некоторое число, а ε – некоторое положительное число. Введем тер- мины: окрестность точки а и ε - οкрестность точки a.

Окрестностью точки а будем называть всякий интервал, содержащий эту точ- ку; обозначать окрестность точки a будем символом .

e -окрестностью точки a назовем интервал ; обозначать ε - окрестность точки а будем символом .

Заметим: Û . Из определения 1 вытекает: если , то в e- окрестности числа a лежит бесконечное множество членов после- довательности, а именно, в лежат все те , номера k которых превышают : Þ . Существенно, что это остается справедливым при любом, сколь угодно малом e > 0: как бы мало ни было e > 0, в содержится бесконеч- ное множество членов последовательности. Существенно также и то , что вне e- ок- рестности может находиться разве лишь конечное множество членов последовательно- сти, ибо в определении 1 не содержится никаких требований к конечному множеству первых членов последовательности, значит, только они и могут оказаться вне .

Геометрически величина есть расстояние между точками числовой оси, изображающими числа и a; поэтому геометрический смысл определения 1 можно передать фразой: при неограниченном увеличении номера k точка неог- раниченно приближается к точке a.

Пример 1. Пусть q, – заданное число. Рассмотрим геометрическую прогрессию 1, q, q, … , q, …, т.е. последовательность , где , и дока- жем, что ее пределом является а = 0.

Нам предстоит проверить для последовательности и числа a = 0 выполнение условий определения 1:

"e > 0 "k Î N .

Неравенство равносильно неравенству . Прологарифмировав, получим: ; поделив обе части последнего неравенства на отрицательное число , получим равносильное неравенство . Существует бесконечно много натуральных чисел, превышающих вещественное число . Выберем какое-нибудь из них и назовём его . Тогда для всякого натурального такого, что справедливо и, следовательно, справедливо . Таким образом, Þ .

Итак, для любого e > 0 существует натуральное такое, что при всех справедливо . Тем самым доказано : . Заметим: на роль может быть выбрано любое натуральное число, большее, чем .

Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся последовательно- стью. Далеко не всякая последовательность является сходящейся.

Пример 2. Рассмотрим последовательность чисел натурального ряда, т.е. последовательность, где , k Î N. Покажем, что эта последовательность не имеет предела и, следовательно, сходящейся не является.

Пусть a – некоторое вещественное число. Положим . Если бы a было пределом рассматриваемой последовательности, то в e-окрестности , т.е. на интервалесодержалось бы бесконечное множество её членов, т.е. на- туральных чисел. Очевидно, однако, что на интервале , длина которого равна единице, может содержаться не более одного натурального числа. Значит, при в содержится не более одного члена рассматриваемой последователь – ности; поэтому a не может быть её пределом. Но в этих рассуждениях a – произволь- ное вещественное число. Следовательно, ни одно вещественное число не может быть пределом последовательности чисел натурального ряда.

Пример 3. Рассмотрим последовательность , где , т.е. при нечетных k и при четных k. Покажем, что эта последовательность к схо- дящимся не принадлежит.

Действительно, пусть сначала a ¹ ±1. Очевидно, что для такого a всегда можно подобрать e > 0 так, чтобы e-окрестность не содержала точек +1 и –1. Таким образом, в указанной окрестности нет членов рассматриваемой последова- тельности, поэтому такое a не может быть ее пределом. Пусть теперь . Положим . Тогда e-окрестность точки а представляет собой интервал . Число –1 лежит вне этого интервала. Значит, вне указанной e-окрестности лежит бесконечное множество членов последовательности, а именно, все , у которых индекс k четный . Значит, не может быть пределом: если было бы пределом рассматривае- мой последовательности, то вне ε – окрестности этой точки находилось бы разве лишь конечное множество ее членов.

Аналогично можно показать, что и a = –1 пределом этой последовательности не является.

Последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся последова- тельностью.

.3.3.. Некоторые теоремы о сходящихся последовательностях

Теорема 1. (О единственности предела ) Если последовательность имеет предел, то только один.

Пусть последовательность сходится к a, a Î R. Покажем, что всякое отличное от а число не может быть ее пределом .

Рис. 3.

Пусть b –любое число, отличное от a. Положим: , т.е. e – полови- на расстояния между точками a и b. Заметим, что e-окрестности и не пересекаются ( рис.3.). Так как , для указанного e найдется натураль- ное такое, что при всех выполняется неравенство . Это означает, что e- окрестности принадлежат все те члены пос- ледовательности, номера которых превышают , а не принадлежать могут только , , ¼ , . Следовательно, только эти члены последовательности могут оказаться в . Итак, в e - окрестности точки b содержится разве лишь конечное множество членов последовательности , поэтому число b не является ее преде- лом.

Теорема 2. (Об ограниченности сходящейся последовательности ) Если после- довательность сходится, то она ограничена.

Пусть последовательность сходится: a. Положим e = 1. По определению 1 найдется натуральное такое, что при всех . Это значит, что все члены последовательности, номера которых превышают , лежат на интервале ; вне этого интервала могут оказаться лишь числа ,,¼,.

Обозначим через и соответственно наименьшее и наибольшее из чисел ,, ¼ ,, и пусть , . Очевидно, все члены последовательности не меньше A и не больше B, т.е. последовательность ограничена.

Замечание 1. Из сходимости последовательности вытекает ее ограниченность. Обратное, вообще говоря, неверно: ограниченная последовательность не обязательно сходится (см. пример 3).

Теорема 3.( О стабилизации знака неравенства ) Пусть последовательность сходится к a, a Î R, и пусть p – некоторое число, p < a (p > a). Тогда существу- ет такое, что при всех справедливо неравенство ( ).

Пусть p < a. Положим e = a – p. В силу определения 1 для этого e найдется такое, что Þ , т.е. при любых , число удовлетворя- ет неравенствам . Но a – e = a – (a – p) = p, значит, Þ . Положим . Тогда при всех справедливо .

В случае p > a доказательство аналогично.

Теорема 4.( О предельном переходе в неравенстве ) Пусть последовательность сходится к a, а последовательность сходится к b. Если при всех нату- ральных k имеют место неравенства , то и a £ b.

Рассуждаем “от противного” : допустим, что a > b. Обозначим: , т.е. p есть середина отрезка с концами a и b : b < p < а . Так как p < a, по теореме 3 существует число такое, что при всех справедливо . Так как p > b, по той же теореме существуеттакое, что при всех выпол- няется неравенство . Обозначим: . Пусть натуральное число k удовлетворяет условию . Тогда , и потому . С другой стороны, для такого k выполнено и условие , и потому . Значит, при , имеем , т.е. , а это противоречит условию теоремы ( при всех k Î N). Противоречие возникло из-за допущения a > b, поэтому a £ b.

Следствие. Пусть все члены последовательность не больше(не меньше) некоторого числа b . если эта последовательность сходится, то её предел также не боль- ше (не меньше) b .

► Пусть при всех k Î N и пусть . Введём в рассмотрение стаци- онарную последовательность , каждый член которой равен b. Очевидно, Имеем: при всех N,т.е. . Применив теорему 4, получим: . Доказательство неравенства в случае проводится аналогично. ◄

Замечание 2. Если при всех N имеют место строгие неравенства , то, вообще говоря, для пределов а и b отсюда не следует строгое неравенство , т.е. возможно и , и равенство а = b. Действительно, пусть, например, , , где . Тогда при всех , но .

Теорема 5. ( О “ сжатой “ последовательности ) Пусть заданы три после- довательности , , , причем выполнены следующие условия:

1) при всех k Î N, и 2) , a Î R.

Тогда последовательность сходится, а ее предел равен a.

Нужно показать, что для последовательности и числа a выполнены условия определения 1: N:N

Пусть e – заданное положительное число. Так как , существует нату- ральное такое, что при всех выполняется , т.е.

Þ . (1)

Так как , существует такое, что при всех выполняется , т.е.,

Þ . (2)

Обозначим: . Пусть k – натуральное число, большее, чем . Из следует и . Так как , для числа выполняется (1); т.к. , для числа справедливо (2); кроме того, в силу условия 1) теоремы имеем . Отсюда следует: Þ

Значит, можно записать:Þ , т.е. Þ . Так как здесь e – произвольное положительное число, то мы показали, что "e > 0 "k Î N ; значит, .

Теорема 6. Пусть – заданная последовательность, а n – некоторое натуральное число. Тогда:

1. Если сходится к числу a, то и остаток последовательности имеет тот же предел.

2. Если расходится, то и остаток является расходящейся последовательностью.

Упражнение. Доказать утверждения 1. и 2 . теоремы 6.

3.4. Бесконечно малые последовательности

Определение 1.Последовательность будем называть бесконечно малой последовательностью (б.м.последовательностью), если она сходится, а ее предел равен нулю, т.е.

N N

Б.м.последовательностью является, например, последовательность , рас- смотренная в примере 1, п. 3.2.

Пусть заданы последовательности и Последовательности и будем называть суммой и произведением последовательностей и соответственно. Если при всех k Î N, то последовательность назо- вем частным последовательностей и .

Теорема 1.(О сумме б.м. последовательностей ) Сумма б.м. последова- тельностей является б.м. последовательностью.

Пусть и есть б.м. последовательности. Положим и рассмотрим последовательность .

Пусть e > 0 – заданное число. Тогда и . Так как , то сущест- вует такое, что Þ . Так как , то существует такое, что Þ . Обозначим: . При имеем : .

Таким образом, для всякого e > 0 существует такое, что при всех выполняется . Значит, .

Замечание1. Пусть n ≥ 2, и пусть каждая из последовательностей является бесконечно малой. Тогда последовательность , где . также является б.м. последовательностью . Доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы 1.

Теорема 2.( О произведении б.м. и ограниченной последовательностей ) Произведение б.м. последовательности и ограниченной последовательности есть б.м. последовательность.

Пусть заданы последовательности и , причём ограни- чена, а -бесконечно малая. Так как ограничена, то существует число M > 0 такое, что при всех натуральных k справедливо неравенство Пусть e > 0 – некоторое заданное число. Так как , найдется такое, что Þ Þ. Отсюда получаем: при любых натуральных , превышающих , спра- ведливо < . Таким образом,

. "e > 0 "k Î N .

Значит, .

Следствие.Пусть a – некоторое число, а – б.м. последователь- ность. Тогда , где , есть б.м. последовательность.

Это утверждение вытекает из доказанной теоремы : достаточно в качестве взять стационарную последовательность, положив .

Упражнение. Доказать, что произведение б.м. последовательностей есть б.м. последовательность.

Теорема 3.(О разности между последовательностью и числом )

Пусть - некоторая последовательность , a - некоторое число. Обозначим : α _k = x _k – a . Для того чтобы число a было пределом последовательности , необходимо и достаточно, чтобы последовательность была бесконечно малой.

Утверждение теоремы можно записать так: () Û ().

означает: "e > 0 "k Î N ; (3)

означает: "e > 0 "k Î N . (4)

Но . Если выполняется (3), то, заменив в (3) на , получаем (4); таким образом, (3) Þ (4). Если выполняется (4), то, заменив в (4) на , получим (3); таким образом, (4) Þ (3). Итак, (3) Û (4), что и требовалось доказать.

Замечание 2. Утверждение теоремы 3 можно сформулировать несколько ина- че: для того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы можно было представить в виде суммы: х=, где . В такой формулировке эта теорема использована в следующем примере.

Пример 1. Пусть a Î R, a > 1. Тогда .

Положим . Так как , то . Имеем: , отсю- да : . Воспользуемся неравенством Бернулли (п. 2.5 пример 1) : . . Очевидно, . Отсюда: и, значит, . Положим: , , , и рассмотрим последовательности , , и . Имеем: 1) при всех k Î N и 2) , . По теореме о “ cжатой “ последовательности ( п. 3.3. теорема 5) , т.е. . Итак, , где . Значит, .

Теорема 1.( Об арифметических действиях со сходящимися последовательно- стями ) Пусть , . Тогда:

а) последовательность сходится, а ее предел равен a + b;

б) последовательностьсходится, а ее предел равен ab;

в) если при всех и, кроме того, , то последовательность

сходится, а ее предел равен .

Так каки , то( п. 3.4.,замечание 2, )и , где и .

а) , где . Так каки , то и . Таким образом, , где , поэтому ( п. 3.4.,замечание 2 ) .

б) , где . Так каки , то ,( п.3.4., следствие теоремы 2) и; поэтому . Таким образом, , где ; значит, .

в) .

Обозначим: , , Последовательностьограничена. Действительно, так как , то либо , либо . Пусть (случай рассматривается аналогично). Выберем некоторое p, . По теореме о стабилизации знака неравенства ( п. 3.3., теорема 3 ) найдется натураль- ное такое, чтопри всех . Отсюда: 0 при , т.е.,при всех . Обозначим черезисоответственно наименьшее и наибольшее из чисел , , ¼ , и пусть , . Очевидно, все члены последовательности лежат на сегменте , т.е. эта последовательность ограничена. Последовательностьесть б.м. последователь- ность, так каки . Значит,является произведением ограничен- ной последовательностии б.м. последовательности , поэтому ( п. 3.4., теорема 2 ) .

Итак, , где . Значит, ( п 3.4., теорема 3), .

3.6. Теоремы о монотонных последовательностях

Теорема 1.(Признак Вейерштрасса сходимости монотонной последова-

тельности )

1) Если неубывающая последовательность ограничена сверху, то она сходится, а ее предел равен

2) Если невозрастающая последовательность {x _k} ограничена снизу, то она сходится, а ее предел равен inf {x _k}

1) Обозначим: . Покажем, что последовательность и число a удовлетворяют определению 1, п.3.2., а именно, что

.

Пусть задано некоторое . Так как a – точная верхняя грань для , то при всех , а число не является верхней гранью для . Зна- чит, найдется член последовательности – обозначим его через (здесь – номер этого члена последовательности ) – такой, что . Рассматриваемая после- довательность - неубывающая, значит, при всех и потому при всех выполняется . Но если , то, очевидно, ; следовательно, мы установили, что Þ . Число e здесь – произвольное положительное число, так что

;

значит,

2) Доказательство этого утверждения проводится аналогично.

Упражнение . Провести доказательство утверждения 2).

Теорема 2.( О вложенных сегментах ) Пусть задана бесконечная последо- вательность сегментов , , ¼ , , ¼ , где при всех , и пусть . Если 1) при всяком сегмент содержит после- дующий сегмент и 2) , то существует единственное число x, принадлежащее всем сегментам этой последовательности: ..

Из условия 1) следует, что последовательность левых концов сег -ментов является неубывающей, а последовательность правых концов – невоз- растающей. Последовательность ограничена сверху (например, числом ), зна- чит, она сходится: обозначим ее предел через . Последовательность ограни- чена снизу (например, числом ), значит, она сходится; обозначим ее предел через . Из утверждений 1) и 2) теоремы 1 имеем : , ; поэтому при всех и . Кроме того, в силу теоремы о предельном перехо- де в неравенстве (п.3.3.) из следует . Следовательно, при всех . Покажем, что .

Допустим противное: . Обозначим : . Тогда из следует: при всех , что противоречит условию теоремы. Значит, .

Итак, мы доказали, что последовательности и имеют один и тот же предел , который, очевидно, принадлежит каждому из сегментов , . Докажем теперь, что x – единственная точка, принадлежащая всем сегментам , .

Предположим противное: пусть существует вещественное число h , отличное от x и принадлежащее каждому сегменту : . Обозначим : . Так как x и h принадлежат сегменту , то =. Значит, при всех , а это противоречит тому, что . Следовательно, x – единственная точка, общая всем сегментам , .

Теорема 3.Последовательность сходятся .

Рассмотрим последовательность , где x _k = Докажем, что это убывающая последовательность; для этого, очевидно, достаточно установить, что при всех отношение меньше единицы. Имеем:

.

Воспользовавшись неравенством Бернулли ( п. 2.5.) получим :

;

отсюда :

.

Заметим:

.

. Отсюда: при всех . Итак, последовательность является убывающей последовательностью. Так как , то и при всех , т.е. ограничена снизу числом 1. По теореме 1 она сходится. ◄

Предел последовательности обозначим через е: .

Следствие. .

► Для последовательности , где можем записать: . Предел знаменателя этой дроби равен 1, предел ее числителя равен e; по теореме 1,п.3.5., получим : . ◄

Замечание. Было установлено (см. доказательство теоремы), что последова- тельность убывает, значит, . Mожно показать, что последовательность возрастает; отсюда: , Таким образом, N , причем . Это дает возможность вычислять любое количество первых десятичных знаков числа e:

e =2,718281828459045 ¼ .

Константа e – одна из важнейших в математике. В частности, она является основанием наиболее употребительной системы логарифмов. Логарифм числа x, x > 0, по основанию e называют натуральным логарифмом числа x и обозначают через lnx. Отметим связь между десятичным и натуральным логарифмами числа x :

, где M = lge = = 0,434294… .

3.7. Бесконечно большие последовательности

Среди расходящихся последовательностей наибольший интерес представляют бесконечно большие последовательности. В определенном смысле это понятие проти- воположно понятию бесконечно малой последовательности.

Определение 1.Будем говорить, что последовательность стремится к +¥, если для всякого положительного числа E существует натуральное такое, что для всех ее членов х, номер k которых превышает , справедливо неравенство , т.е. если

.

Геометрически требования этого определения означают, что все члены остатка лежат на числовой оси правее точки E. Таким образом, правее точки E ле- жит бесконечное множество членов последовательности , в то время, как левее этой точки может находиться разве лишь конечное их количество. Существенно, что сказанное остается справедливым при любом E > 0, которое может быть взято как угодно большим. Если условия этого определения выполнены, будем записывать:

или . Очевидно, такая последовательность не ограничена сверху.

Определение 2. Будем говорить, что последовательность стремит- ся к –¥, если для всякого положительного числа E существует натуральное та- кое, что для всех тех ее членов х, номер k которых превышает , справедливо неравенство , т.е., если

.

Если условия этого определения выполнены, будем записывать: или . Очевидно, такая последовательность не ограничена снизу.

Упражнение. 1) Доказать, что если неубывающая последовательность не ограничена сверху, то . 2) Доказать, что если невозрастающая последова- тельность не ограничена снизу, то .

Определение 3. Будем говорить, что последовательность стремится к ¥, если для всякого положительного числа E существует натуральное такое, что для всех ее членов х, номер k которых превышает , справедливо неравенство , т.е., если

.

Если условия этого определения выполнены, будем записывать или .

Последовательности, стремящиеся к +¥, к –¥ или к ¥, называют бесконечно большими последовательностями (б.б. последовательностями). Б.б. последователь- ность является расходящейся последовательностью. В самом деле, пусть – б.б. последовательность, и пусть a – некоторое вещественное число, а e – некоторое положительное число. Из определений 1, 2 и 3 вытекает, что на ограниченном интервале может находиться разве лишь конечное множество членов последовательности , поэтому a не является ее пределом. Но a – произвольное вещественное число. Значит, ни одно вещественное число не может быть пределом б.б. последовательности , т.е. она расходится.

Отметим еще, что если последовательность удовлетворяет определению 1 или определению 2, то она удовлетворяет и определению 3. Если же , то это не означает, что обязательно стремится либо к +¥ , либо к –¥.

Пример 1. Пусть , где . Если q > 1, то ,очевидно, воз- растает и не ограничена сверху; поэтому ( см. выше, Упражнение ) , можно также написать . Если же q < –1, то , причем не стремится ни к +¥, ни к –¥.

Теорема 1.( О связи между б.б. и б.м. последовательностями ).

Пусть задана последовательность , причем при всех . Обозначим Тогда 1) если , то ; 2) если , то .

Докажем утверждение 1). Пусть E > 0 – некоторое число; обозначим : . Так как , существует такое, что

; отсюда : .

Таким образом, если положить , то имеем Þ . Так как здесь E > 0 – произвольное положительное число, то условия определения 3 выполня -ются для последовательности ; значит, .

Докажем утверждение 2). Пусть e > 0 – некоторое положительное число; обозначим: . Так как , то существует такое, что

; отсюда :. Значит, если положить , будем иметь . Так как здесь ε - произвольное положительное число, то последовательность удовлет- воряет определению 1 ,п. 3.4., т.е. .

Приведенные ниже утверждения касаются арифметических действий с б.б. последовательностями.

а) Если и , то и (здесь следует выби- рать либо везде знак “+“, либо везде знак “–”).

б) Если , –¥ или ¥, а последовательность ограничена, то стремится к +¥, –¥ или ¥ соответственно.

в) Если , , то и .

г) Если , а , a ¹ 0, то .

Упражнение. Доказать утверждения а) – г).

3.8. Фундаментальные последовательности

Определение 1. Последовательность назовем фундаментальной пос- ледовательностью, если для любого e > 0 существует натуральное такое, что нера- венство справедливо при любых натуральных n и m, больших, чем , т.е. если

N : N N ()

Геометрически сформулированные выше условия означают, что все члены ос-татка последовательности лежат на интервале длины 2e, в каче- стве которого можно взять e-окрестность любой точки , где . Такой интервал длины 2e содержит бесконечное множество членов последовательности , в то время как вне этого интервала может находиться разве лишь конечное их количество. Существенно, что сказанное остается справедливым при любом e > 0, которое может быть взято как угодно малым. В п. 3.2. были отмечены аналогичные черты в поведе- нии сходящейся последовательности. Наличие этой аналогии обьясняет следующая теорема.

Теорема 1. (Критерий Kоши). Для того, чтобы последовательность была схо- дящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство этой теоремы мы здесь приводить не будем. Его можно найти в учебниках математического анализа [1] и [2].

Приведем пример применения критерия Коши.

Пример 1. Пусть – заданное число, , . Рассмотрим последовательность . Выше (п. 3.2., пример 1 ) было показано, что при . При все члены этой последовательности равны единице; поэтому . При эта последовательность расходится (п. 3.2., пример 3). Таким образом, поведение известно при всяком q, | q | £ 1.

Пусть теперь . Покажем, что в этом случае последовательность , расходится. В силу критерия Коши достаточно показать, что она не является. фундаментальной. При произвольных натуральных n и m, удовлетворяющих нера- венству n < m , имеем:

.

Выберем e достаточно малым: . Тогда из полученных выше не- равенств при любых натуральных n и m будем иметь: . Следовательно, для такого не существует натуральное k _ε, о котором идет речь в определении 1; по- этому последовательность , , не является фундаментальной (см. также п. 3.7.,пример 1 ). В силу критерия Коши она расходится.