Множества и отображения

Глава 1. Введение в анализ

Упражнения.

1. На языке последовательностей и языке “e – d” сформулировать определения б.б. функций при и a – 0 (R), а также при x→ +∞, –¥ и ¥.

2. Пусть а, C и m – вещественные числа, где , а , и пусть . Доказать, что является б.б. функцией при ; если же m > 0 таково, что a определена и при x < a (например, m Î N), то Указание, Использовать теорему 1 и пример 2 из п. 4.6. .

3. Пусть C и m – вещественные числа, где и , и пусть . Доказать, что a является б.б. функцией при ; если же определена и при x < 0, то является б.б. функцией при и при .

4. Доказать утверждения, аналогичные утверждениям а) – г) из п.3.7.: пусть функции f и g определены в , a Î R; тогда

а) если , , то (здесь следует выбирать либо везде знак “+”, либо везде знак “–”);

б) если , а функция g ограничена в (в частноcти имеет конечный предел при x ® а ), то f (x) + g (x) ® +¥, –¥, ¥ соответственно;

в) если , , то ;

г) если , , где A Î R, A ¹ 0, то .

5. Сформулировать и доказать утверждения, аналогичные утверждениям а) - г) для функций, бесконечно больших при x ® a + 0, a – 0, где a Î R, а также при x ® +¥, –¥, ¥.

1.1 Операции над множествами

Пусть X – некоторое множество (совокупность); природа составляющих его объектов (элементов) значения не имеет. Если x является элементом множества X, записывают x Î X (следует читать: x принадлежит X), запись x Ï X означает, что x не является элементом X

Пусть X и Y – некоторые множества. Если каждый элемент множества X принадлежит и множеству Y, то X называют подмножеством множества Y, при этом записывают : X Ì Y.

Будем говорить, что множества X и Y равны и записывать при этом X = Y, если X и Y состоят из одних и тех же элементов, т.е. если каждый элемент X принадлежит Y (X Ì Y), а каждый элемент Y принадлежит X (Y Ì X).

Объединением множеств X и Y называют множество, состоящее из всех эле- ментов X и всех элементов Y; обозначают такое множество через .

Пересечением множеств X и Y называют совокупность элементов, принадле- жащих и множеству X, и множеству Y; обозначают такое множество через .

Разностью множеств X и Y называют множество тех элементов X, которые не принадлежат Y; обозначают такое множество через X \ Y.

X \ Y

Рис. 1.

На рис.1 заштрихованные фигуры изображают объединение, пересечение и раз- ность двух множеств X и Y, представленных прямоугольниками.

1.2. Отображения.

Пусть заданы множества X и Y, и пусть сформулировано правило f , согласно которому каждому элементу х Х сопоставлен некоторый элемент у Y. Правило f называют отображением множества Х в множество Y , элемент у называют образом

Рис.2.

элемента х при отображении f, а х называют прообразом у при отображении f (рис.2).

Мы будем пользоваться общепринятой символикой:

f : X ® Y – отображение f множества X в множество Y;

y = f (x) – y есть образ элемента x при отображении f;

f (X) – образ множества X при отображении f, т.е. множество тех элемен- тов из Y, которые являются образами элементов из X при отображении f.

Пусть задано отображение f : X ® Y. Говорят, что f отображает X на Y взаимно однозначно, если 1) Y = f (X), т.е. каждый элемент множества Y является образом хотя бы одного элемента множества X при отображении f, и 2) образы различных между собой элементов множества X различны, т.е. из следует .

Из 1) и 2) следует, что при взаимно однозначном отображении f множества X на Y для каждого элемента y Î Y в множестве X обязательно существует, и притом только один прообраз. Единственность прообраза для каждого элемента y Î Y позво- ляет рассматривать отображение множества Y в множество X , при котором каждому элементу y Î Y сопоставлен его прообраз х, x Î X, при отображении f. Такое ото- бражение множества Y в множество X называют обратным по отношению к отобра- жению f и обозначают символом . Заметим, что обратное отображение оп- ределено только для взаимно однозначного отображения f ; отображение :Y® X взаимно однозначно отображает Y на X. Образ элемента x при отображении f яв- ляется прообразом элемента x при отображении , т.е. f есть отображение, обрат- ное по отношению к отображению ; f и -– это пара взаимно обратных ото- бражений.