Предел функции

О.6. Последовательность, имеющая предел, на­зывается сходящейся, в противном случае — расходящейся.

О.7.Последовательность называется возрастающей, если ; неубывающей, если ; убывающей, если ; невозрастающей, если

Все такие последовательности объединяются общим названием монотонные. Возрастающие и убывающие последовательности называются также строго монотонными.

Свойства сходящихся последовательностей:

1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

2.Сходящаяся последовательность ограничена. Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся.

3. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

О.8. Числом е называется предел числовой последовательности , то есть .

Это равенство называют вторым замечательным пределом.

Число (число Эйлера, неперово число) – иррациональное, его приближенное значение равно 2,72 (2,71828184459…). График функции получил название экспоненты. Широко используются логарифмы по основанию , называемые натуральными.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой точки . Возьмем из этой окрестности последовательность точек, отличных от : сходящуюся к . Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность , и можно говорить о существовании ее предела.

О.1. (по Коши). Число называется пределом функции при , стремящимся к (или в точке ), если для любого, даже очень малого числа , найдется такое число (), что для всех и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Обозначается .

Смысл определения предела функции в точке состоит в том, что для всех значений , достаточно близких к , значения функции мало отличаются от числа (по абсолютной величине).

О.2. (по Гейне).Число называется пределом функции в точке (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента , сходящейся к последовательность соответствующих значений функции сходится к числу .

Определение предела не требует существования функции в самой точке . То есть, рассматривая , мы предполагаем, что , но не достигает значения . Поэтому наличие или отсутствие предела при определяется поведением функции в окрестности точки , но не связано со значением функции (или его отсутствием) в самой точке .

В определении предела функции считается, что любым способом: оставаясь меньшим, чем (слева от ), большим, чем (справа от ) или колеблясь около точки .

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента к существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

О.3. Число называется пределом функции слева в точке , если для любого числа , существует число (), такое что при , выполняется неравенство

Предел слева записывают так: .

Аналогично определяется предел функции справа: .

Пример. Найти правосторонний предел и левосторонний предел функции .

Решение: и

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.Очевидно, если существует , то существуют и оба односторонних предела, причем . Если же , то не существует.

О.4. Число называется пределом функции при, если для любого числа , найдется такое число (), что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Примеры функций имеющих пределы:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. не существует.