Теорема об оценке.

Задача об объеме цилиндрического тела.

Двойной интеграл.

Лекция 1.

Часть1 Кратные и криволинейные интегралы, теория поля.

Для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана

В лекционном изложении

Краткий курс математического анализа

(третий семестр)

Москва 2005.

К определенному интегралу мы пришли от задачи о площади криволинейной трапеции. К двойному интегралу мы приходим, решая задачу об объеме цилиндрического тела.

- Рассмотрим, например, прямой круговой цилиндр с высотой h и радиусом основания R его объем равен

- Объем цилиндра той же высоты, в основании которого лежит эллипс с полуосями равен .

- Объем цилиндра той же высоты, с площадью основания , равен .

Пусть надо вычислить объем цилиндрического тела, в основании которого лежит область с площадью , а высота изменяется от точки к точке так, что конец ее описывает некоторую поверхность(). Тогда логично разбить областьна области малого размера – организовать разбиение области на области – элементы разбиения. На каждом элементе отметим точку M(x,y) и построим над этим элементом прямой круговой цилиндр, высота которого постоянна для всех точек элемента и равна . Вычислим объем этого элементарного цилиндра. Просуммируем объемы всех элементарных цилиндров. Эта сумма и даст приближенно искомый объем цилиндрического тела тем точнее, чем меньше будут размеры элементов разбиения. Этот алгоритм используем для построения двойного интеграла

Двойной интеграл[1]

1. Организуем разбиение области D на элементы – области так, чтобы эти элементы не имели общих внутренних точек и(условие А) 2. Отметим на элементах разбиения «отмеченные точки» M_iи вычислим в них значения функции 3. Построим интегральную сумму , где - площадь 4. Переходя к пределу при условии (условие В), получим двойной интеграл как предел интегральных сумм:

Теорема существования[2].

Пусть функция непрерывна в замкнутой односвязной области D[3]. Тогда двойной интеграл существует как предел интегральных сумм.

.

Замечание[4]. Предел этот не зависит от

- способа выбора разбиения, лишь бы выполнялось условие А

- выбора «отмеченных точек» на элементах разбиения,

- способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие В

Свойства двойного интеграла[5].

1. Линейность
а) свойство суперпозиции .=+

б) свойство однородности.=

Доказательство. Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Они равны интегральным суммам для правых частей равенств, так как число слагаемых конечно. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат.

2. Аддитивность.
Если,то =+

Доказательство. Выберем разбиение области D так, чтобы ни один из элементов разбиения (первоначально и при измельчении разбиения) не содержал одновременно как элементы D₁, так и элементы D₂. Это можно сделать по теореме существования (замечание к теореме). Далее проводится доказательство через интегральные суммы, как в п.1.

3. -площадь области D.

4. Если в области D выполнено неравенство , то (неравенство можно интегрировать).

Доказательство. Запишем неравенство для интегральных сумм и перейдем к пределу.

Заметим, что, в частности, возможно
Если существуют константы , что , то

Доказательство. Интегрируя неравенство (свойство 4), получим . По свойству 1 константы можно вынести из-под интегралов. Используя свойство 3, получим искомый результат.

6. Теорема о среднем(значении интеграла).

Существует точка , что .

Доказательство. Так как функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то существует ее нижняя грань и верхняя грань . Выполнено неравенство . Деля обе части на , получим . Но число заключено между нижней и верхней гранью функции. Так как функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то в некоторой точке функция должна принимать это значение. Следовательно, .

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что существует цилиндр постоянной высоты , объем которого равен объему цилиндрического тела