Наряду с понятием к числу основных форм мышления относится суждение. Эта форма мышления является, по существу, обязательным элементом всякого познания, в особенности, связанного с процессами рассуждения, с осуществлением выводов и построением доказательств. В этой форме фиксируются результаты познания отдельных предметов, классов предметов, некоторых ситуаций вообще. В мысли этого типа содержится, с одной стороны, описание или хотя бы просто обозначение этих предметов, классов, ситуаций, а с другой - утверждение или отрицание наличия у них той или иной характеристики.
Пример. В суждении «Каждая планета Солнечной системы вращается вокруг своей оси» утверждается наличие в действительности ситуации: вращение вокруг своей оси каждой планеты Солнечной системы. А в суждении «Ни одна планета Солнечной системы не является неподвижной» отрицается наличие в действительности ситуации покоя каждой планеты Солнечной системы.
Суждение – это форма мысли, содержащая описание некоторой ситуации и утверждение или отрицание наличия этой ситуации в действительности.
Важнейший отличительный признак суждения – утверждение или отрицание чего-либо о чем-либо. В понятии ничего не утверждается и не отрицается. В нем лишь выделяется сам предмет мысли (например: «день», «ночь», «солнечный день», «несолнечный день»). В суждении же акцентируется внимание на самом соотношении между какими-либо предметами мысли: «День солнечный» или «День не солнечный», «День прошел», «Ночь настала».
И в самых простых, и в достаточно сложных суждениях всегда утверждается или отрицается наличие тех или иных признаков у некоторых объектов. Поэтому в общем виде определение суждения можно сформулировать и следующим образом:
Суждение – это мысль, в которой утверждается или отрицается наличие связи между объектами и признаками.
Знаком, в виде которого выражается суждение, является повествовательное предложение. Смыслом этого знака должна быть связанная с ним мысль. Это и есть само суждение. Что касается значения предложения, то иногда в качестве него рассматривают ситуацию, которая имеет или не имеет места в действительности и которая описывается суждением. Однако чаще всего значением предложения принято считать истину или ложь.
В современной логике вместо термина «суждение» предпочитают употреблять термин «высказывание». В традиционной логике термином «суждение» обозначали именно некоторый смысл повествовательного предложения с учетом того, что он может быть общим для различных знаковых форм. Иначе говоря, одно и то же суждение может быть выражено в различных формах повествовательных предложений.
Пример. Можно утверждать, что «Всякий человек способен мыслить» и что «Все люди обладают способностью мышления», но в обоих случаях выражается одна и та же мысль (одно и то же суждение).
С термином «высказывание» обычно связывают некоторый смысл (суждение) вместе с его знаковой формой. Говоря о суждении, не обязательно иметь в виду какую-либо определенную знаковую форму. Говоря же о высказывании, подразумеваем определенную знаковую форму вместе с ее смыслом. Когда же имеем в виду лишь саму знаковую форму высказывания, - отвлекаясь от ее смысла, т.е. от выражаемого в ней суждения, - то употребляем термин «повествовательное предложение».
Виды суждений. При выделении видов суждений, прежде всего, различают простые и сложные. Простым называется такое суждение, ни одна логическая часть которого не является суждением.
Пример. «Математика – абстрактная наука».
Сложным является такое суждение, которое содержит в качестве своей правильной части, т.е. части, не совпадающей с целым, некоторое другое суждение.
Пример. «Если вы будете хорошо учиться, то обязательно получите диплом».
Виды простых суждений. Основными частями простых суждений являются один или несколько субъектов суждения (логических подлежащих) и предикат суждения (логическое сказуемое). Субъект и предикат суждения называются терминами этого суждения.
Субъект суждения – это термин, возможно, выражающий понятие и представляющий предмет, о котором нечто утверждается или отрицается. Субъект суждения принято обозначать буквой S.
Предикат суждения – часть суждения, выражающая то, что утверждается или отрицается о предметах, которые представляют субъекты. Предикат обозначается буквой Р.
Пример. В суждении «Солнце есть раскаленное небесное тело» субъект – «Солнце», предикат – «раскаленное небесное тело». В суждении «Земля вращается вокруг Солнца» два субъекта – «Земля» и «Солнце», предикат – отношение «вращается».
В зависимости от содержания предиката суждения, т.е. от того, что именно утверждается или отрицается о тех или иных предметах, различают атрибутивные, экзистенциальные и реляционные суждения.
Атрибутивными называются суждения, в которых утверждается или отрицается наличие некоторого свойства у предмета. Логическая форма атрибутивного суждения имеет вид: S (не) есть Р.
Пример. «Солнце (S) есть раскаленное небесное тело (Р)»; «Великобритания (S) является конституционной монархией (Р)»; «Некоторые лебеди (S) белые (Р)»; «Великий комбинатор (Р) этот Остап Бендер (S)»; «Нужда (S) заставит Богу молиться (Р)».
Экзистенциальными называются суждения, в которых утверждается или отрицается существование предмета.
Пример. «Змея-Горыныча (S) не существует в действительности (Р)»; «Природные аномалии (S) существуют (Р)»; «Нет безысходных ситуаций» («Безысходных ситуаций (S) не существует (Р)»).
Реляционные – это суждения, в которых утверждается или отрицается отношение между некоторыми предметами.
Пример. «Земля вращается вокруг Солнца»; «Петр – брат Ивана»; «Москва расположена между Петербургом и Екатеринбургом».
В атрибутивных суждениях, как и в суждениях существования, имеется всегда лишь один субъект. В суждениях об отношении – более чем один.
Виды атрибутивных суждений. По качеству атрибутивные суждения делятся на утвердительные и отрицательные.
Утвердительными являются суждения, говорящие о принадлежности предиката субъекту суждения. Отрицательные – это суждения, говорящие об отсутствии данного предиката у субъекта.
При определении вида суждения по качеству надо обращать внимание на качество связки «есть» («не есть»). Суждение «Это нехороший человек» –утвердительное, так как в нем говорится о принадлежности субъекту («человек») предиката «нехороший». Суждение «Он никогда не был хорошим другом» – отрицательное, так как в нем говорится об отсутствии у субъекта («он») предиката «хороший друг». В этом суждении логическая связка «есть» («был») стоит с отрицанием «не».
По количеству атрибутивные суждения делятся на единичные, частные и общие. Количество суждения – это его характеристика, определяющая, в каком объеме рассматривается субъект суждения.
В единичных суждениях предикат высказывается о единичном предмете, т.е. все термины, играющие роль субъектов, - единичные имена.
Пример. «Этот человек имеет преступные наклонности».
В частных суждениях предикат высказывается о некоторых элементах объема субъекта.
Пример. «Некоторые люди имеют преступные наклонности».
В общих суждениях предикат высказывается обо всем объеме субъекта.
Пример. «Все люди имеют преступные наклонности».
Значение слова «некоторые» в естественном языке и в логике несколько различно. В естественном языке оно используется в значениях «только некоторые, но не все» и «некоторые, а может быть, и все». В логике – только в значении «некоторые, а может быть, и все».
5.2 Категорические суждения
Категорическими называют суждения, у которых точно выяснено их качество и количество.
По этим двум признакам (качество и количество) проводят классификацию категорических суждений, выделяя общеутвердительные, общеотрицательные, частноутвердительные и частноотрицательные. Единичные и общие суждения объединяют в одну группу, так как и в одном, и в другом случае предикат высказывается обо всем объеме субъекта.
Общеутвердительные суждения обозначаются буквой А.
Их каноническая форма: Все S есть Р.
На языке логики предикатов общеутвердительное суждение запишется следующим образом: "x(S(x)ÉP(x)).
Отметим, что это суждение истинно при определенных отношениях между понятиями S и Р (рис. 11).
Пример. «Все люди есть существа, имеющие преступные наклонности».
Рис. 11. Возможные отношения между субъектом и предикатом
истинного общеутвердительного суждения
Общеотрицательные суждения обозначаются буквой Е.
Каноническая форма: Ни одно S не есть Р.
Запись на языке логики предикатов: "x(S(x)ÉùP(x)).
Общеотрицательное суждение истинно при отношениях между понятиями S и Р, показанных на рис. 12.
Пример. «Ни один человек не есть существо, имеющее преступные наклонности».
Рис. 12. Возможные отношения между субъектом и предикатом
истинного общеотрицательного суждения
Частноутвердительные суждения обозначаются буквой I.
Каноническая форма: Некоторые S есть Р.
Запись на языке логики предикатов: $x(S(x) Ù P(x)).
Частноутвердительное суждение истинно при отношениях между понятиями S и Р, показанных на рис. 13.
Пример. «Некоторые люди есть существа, имеющие преступные наклонности».
Частноотрицательные суждения обозначаются буквой О.
Каноническая форма: Некоторые S не есть Р.
Запись на языке логики предикатов: $x(S(x) Ù ùP(x)).
Частноотрицательное суждение также истинно только при определенных отношениях между понятиями S и Р (рис. 14).
Пример. «Некоторые люди не есть существа, имеющие преступные наклонности».
Буквенные обозначения категорических суждений – это гласные буквы латинских слов affirmo - утверждаю и nego - отрицаю.
Рис. 13. Возможные отношения между субъектом и предикатом
истинного частноутвердительного суждения
Рис. 14. Возможные отношения между субъектом и предикатом
истинного частноотрицательного суждения
5.3 Распределенность терминов в категорических суждениях
Формы категорических суждений выражают четыре типа отношений между классами, которые представляют общие имена S и Р:
- в общеутвердительных суждениях утверждается, что каждый предмет класса S тождественен каким-то предметам Р;
- в частноутвердительных суждениях утверждается то же самое о некоторых предметах S (причем, говоря о некоторых, не исключают, что и все);
- в общеотрицательных суждениях, наоборот, утверждается, что ни один предмет класса S не совпадает ни с одним предметом Р, т.е. не тождественен никакому из этих предметов;
- в частноотрицательных суждениях то же самое утверждается о части (возможно, совпадающей со всем классом) предметов S.
Информация о тождестве или различии терминов категорического суждения – субъекта и предиката – выражается в понятии их распределенности. Термин категорического суждения называется распределенным, если он рассматривается в данном суждении во всем объеме, т.е. он полностью включается в объем другого термина или полностью исключается из него. Другими словами, распределенность или нераспределенность термина категорического суждения – его субъекта или предиката – указывает на то, имеем ли мы в данном суждении информацию обо всех или не обо всех предметах класса, представителем которого является данный термин (как общий знак предметов этого класса).
Существует правило распределенности терминов в категорических суждениях: субъекты распределены в общих и не распределены в частных суждениях; предикаты распределены в отрицательных и не распределены в утвердительных суждениях. Содержание этого правила можно представить в виде таблицы (табл. 1).
Пример. «Все киты (S+) – млекопитающие (Р-)»; «Ни одна рыба (S+) не есть кит (Р-)»; «Некоторые студенты (S-) – отличники (Р-)»; «Некоторые дети (S-) – не школьники (Р+)»; «Некоторые цветы (S-) – фиалки (Р+)».
5.4 Сложные суждения и их истинность
Сложные суждения составляются из простых при помощи логических союзов. Основные виды сложных суждений следующие: конъюнктивные (АÙВ); дизъюнктивные (АÚВ); импликативные (АÉВ); образованные из других суждений с помощью отрицания (ùА); эквивалентные (АºВ), где А и В – простые или, в свою очередь, сложные суждения.
Логической формой сложного суждения является его запись на языке логики суждений, в которой простые суждения заменены на переменные p, q, r, s, p1, q1 и т.д.
Одним из важных вопросов, касающихся сложных суждений, является вопрос об их истинности. Истинность сложного суждения зависит от истинности входящих в него простых суждений (истинность или ложность простых суждений находится вне компетенции логики).
Для определения истинности сложных суждений строятся так называемые таблицы истинности. Эти таблицы были придуманы австрийским логиком и философом Людвигом Витгенштейном еще во время первой мировой войны. Каждая такая таблица имеет вход и выход. На входе вписываются все возможные комбинации значений истинности для простых суждений, из которых составлено сложное. На выходе выписываются значения сложного суждения (табл. 2).
Таблица 2
Значения истинности сложных суждений
А
В
АÙВ
АÚВ
АÚВ
АÉВ
АºВ
ùА
и
и
и
и
л
и
и
л
и
л
л
и
и
л
л
л
л
и
л
и
и
и
л
И
л
л
л
л
л
и
И
И
Пример. Рассмотрим истинность сложного суждения «Если бы Иван Грозный был бы зол по природе или не заботился об интересах государства, то он не отменил бы опричнины».
Выявим его логическую форму. Для этого запишем суждение на языке логики суждений. Обозначим: р – Иван Грозный был зол по природе; q – Иван Грозный заботился об интересах государства; r – Иван Грозный отменил бы опричнину. Получим следующую формулу:
(рÚù q)Éù r.
Для этой формулы построим таблицу истинности. Число строк в таблице истинности определится по формуле 2n, где n – количество переменных (простых суждений) в формуле (в суждении). Для нашего суждения: 23=8.
Чтобы на «входе» таблицы перебрать все возможные сочетания значений «истина» и «ложь», можно использовать следующее правило: чередуйте в каждом столбце значения «истина»/«ложь» через 2l-1 раз, где l – номер столбца.
Таким образом, для нашего суждения таблица истинности будет иметь следующий вид:
p
q
r
ùq
ùr
рÚùq
(pÚùq)Éùr
и
и
и
л
л
и
л
и
и
л
л
и
и
и
и
л
и
и
л
и
л
и
л
л
и
и
и
и
л
и
и
л
л
л
и
л
и
л
л
и
л
и
л
л
и
и
л
и
л
л
л
л
и
и
и
и
Вход Выход
Сложные суждения, у которых на «выходе» получаются только значения «истина», называются тождественно или логически истинными. Логически истинные суждения истинны независимо от значений составляющих их простых суждений, они являются истинными только в силу своей формы. Отсюда можно дать новое определение закона логики:
Закон логики – сложное суждение, которое во всех строках построенной для него таблицы истинности принимает значение «истина».
Суждения, у которых на «выходе» получаются только значения «ложь», называются тождественно (или логически) ложными. Остальные суждения считаются фактическими.
5.5 Типы и виды модальных суждений
В любом суждении утверждается наличие или отсутствие той или иной ситуации. Однако некоторые ситуации в жизни не просто наличествуют или отсутствуют, но наличествуют или отсутствуют случайно или необходимо. Если же мы говорим о будущем, то можем характеризовать отдельные ситуации как возможные или необходимые, или как невозможные и т.п. Одни действия и поступки людей в обществе разрешены, другие даже обязательны, а некоторые – запрещены. Что касается суждений о наших знаниях, то знания, о которых идет речь в суждении, могут быть доказанными или недоказанными, достоверными или нет и т.п.
В зависимости от того, содержат ли суждения подобные характеристики явлений, событий, процессов и т.д., они подразделяются на ассерторические и модальные.
Ассерторические - это суждения, которые содержат только некоторую информацию и не содержат оценки этой информации.
Модальные - это суждения, которые содержат оценку заключенной в них информации.
Пример. «На Марсе, возможно, есть жизнь»; «Каждый человек обязан соблюдать закон»; «Возможно, что существуют внеземные цивилизации»; «Обыск обязательно производится в присутствии понятых»; «Иногда отличные оценки студенты получают на экзаменах случайно».
Модальными являются все суждения, выражающие законы конкретных наук. Утверждая наличие какой-либо связи в формулировках законов науки, мы утверждаем необходимый характер этой связи.
В некоторых случаях в модальных суждениях характеристика ситуаций, о которых в них говорится, не выражается явно, но подразумевается.
Примеры: «Ни один человек не может жить без пищи»; «Некоторые люди не могут лгать».
Выделяют несколько типов модальностей, а внутри каждого типа – несколько видов. Виды модальностей соответствуют так называемым модальным операторам – специальным словам, с помощью которых и осуществляется оценка (характеристика) заключенной в суждении информации.
Алетическая модальность. Ее виды: «необходимо», «возможно», «невозможно», «случайно».
Пример. «Завтра возможен дождь».
Между операторами этой модальности существуют следующие соотношения:
«Необходимо А» ~ «Невозможно не-А».
«Возможно А» ~ «Не необходимо не-А».
«Случайно А» ~ «Возможно А и возможно не-А».
Алетические модальности имеют особую значимость в науке. Науку, прежде всего, интересуют закономерные связи между явлениями, причинная обусловленность явлений, возможность или невозможность некоторых явлений при тех или иных обстоятельствах. Вообще когда говорят о науке, то имеют в виду систему необходимого знания.
Вопросы о том, что значит необходимость некоторой связи явлений или некоторого события, какой смысл имеет утверждение о возможности чего-либо, какие нужны основания для признания истинности утверждений о необходимости или возможности каких-то ситуаций, не являются в сколько-нибудь достаточной степени выясненными ни в философии, ни в логике. В философии обычно ограничиваются некоторыми метафорами вроде того, что необходимое – это «прочное, устойчивое в явлениях».
Деонтическая модальность – это характеристики действий и поступков людей в обществе. Ее виды: «обязательно», «разрешено», «запрещено», «безразлично».
Пример. «Посторонним вход запрещен».
Между операторами этой модальности существуют такие соотношения:
«Обязательно А» ~ «Не разрешено не-А».
«Разрешено А» ~ «Не обязательно не-А».
«Запрещено А» ~ «Не разрешено А» или «Обязательно не-А».
Эпистемическая модальность указывает на научную достоверность содержащейся в суждении информации, т.е. это – характеристики наших знаний. Виды эпистемической модальности: «доказано», «опровергнуто», «возможно» (допустить, что истинно некоторое высказывание), «знает», «верит», «убежден», «сомневается».
Пример. «Доказано, что Земля вращается вокруг Солнца».
Взаимосвязи между операторами этой модальности следующие:
«Доказано А» ~ «Опровержимо не-А».
«Доказано не-А» ~ «Опровержимо А».
Кроме названных, довольно часто встречаются аксиологическая модальность («хорошо», «плохо») и временная модальность («всегда», «иногда», «никогда» и т.д.).
Для записи модальных высказываний приняты следующие обозначения:
Алетическая модальность: ð (N) - необходимость; à (M) - возможность; ∆ (S) - случайность.
Деонтическая модальность: О – обязательно; Р – разрешено; З – запрещено.
Пример. «КА» означает: «Некто знает, что имеет место ситуация А».
5.6 Отношения между категорическими суждениями
Умение обращаться с отношениями между суждениями – важная составляющая логической культуры, позволяющая в общении, например в споре, легко находить суждения, следующие из данных суждений, противоречащие им и т.д. Это необходимо для развития аргументов в пользу своего тезиса и критики чужих тезисов и аргументов. Вступая в спор, нужно знать, какие суждения совместимы друг с другом, а какие – нет, к чему обязывает принятие тех или иных суждений, а к чему – нет и т.п.
Пример. Допустим, если кто-то пытается доказать, что все великие люди низкого роста, и вы в качестве возражения приводите суждение «Все великие люди высокого роста», будет нелегко и, скорее всего, невозможно отстоять это мнение. В то же время могут возникнуть другие вопросы. Например, если мы отрицаем суждение «Все великие люди низкого роста», обязывает ли это признать истинность суждения «Некоторые великие люди низкого роста» или «Все великие люди не низкого роста» и т.п.
Среди отношений между простыми суждениями наиболее важными являются отношения между категорическими суждениями.
Прежде всего, это отношения сравнимости-несравнимости. Категорические суждения называются сравнимыми, если их термины (субъект и предикат) совпадают с точностью до перестановки.
Пример. Суждения «Все студенты являются веселыми людьми» и «Все веселые люди являются студентами» - сравнимые.
Категорические суждения называются несравнимыми, если в одном из них есть термин, не входящий в другое.
Пример. Суждения «Все студенты являются веселыми людьми» и «Все студенты являются находчивыми людьми» - несравнимы.
Сравнимые суждения могут быть совместимыми и несовместимыми. Сравнимые категорические суждения называются совместимыми, если они могут быть вместе истинными.
Пример. Суждения «Все великие люди низкого роста» и «Некоторые великие люди низкого роста» - совместимые.
Сравнимые категорические суждения называются несовместимыми, если они не могут быть вместе истинными.
Пример. Суждения «Все великие люди низкого роста» и «Некоторые великие люди не являются людьми низкого роста» - несовместимые.
Отношения совместимости и несовместимости, в свою очередь, делятся на виды. Для систематизации и наглядного представления этих отношений еще в средние века был придуман так называемый «логический квадрат» (рис. 15).
К отношению совместимости относятся подчинение и субконтрарность (частичная совместимость).
Отношение подчинения имеет место между суждениями А и I, а также между Е и О. При этом суждения А (Е) называются подчиняющими, а суждения I (О) – подчиненными. Это отношение характеризуется следующим образом: если подчиняющее суждение А (Е) истинно, то подчиненное суждение I (О) истинно; если подчиненное суждение I (О) ложно, то подчиняющее суждение А (Е) ложно; подчиняющее и подчиненное суждения могут быть вместе ложны.
Субконтрарность имеет место между суждениями I и О. Эти суждения не могут быть вместе ложными. В то же время они могут быть вместе истинными, либо одно суждение может быть истинным, а другое – ложным.
Рис. 15. «Логический квадрат»
К отношению несовместимости относятся контрадикторность (противоречие) и контрарность (противоположность). Отношение контрадикторности часто называют также отношением контрадикторной противоположности.
В отношении контрадикторности находятся суждения вида А и О, а также суждения вида Е и I. Контрадикторные суждения не могут быть вместе истинны и вместе ложны.
Контрарность имеет место между суждениями А и Е. Контрарные суждения не могут быть вместе истинными. В то же время они могут быть вместе ложными.
Рассмотренные отношения между простыми категорическими суждениями можно представить в виде схемы (рис. 16).
Рис. 16. Отношения между категорическими суждениями
5.7 Отношение между сложными суждениями
Сложные суждения вступают в отношения, подобные отношениям между категорическими суждениями, правда, с некоторыми отличиями.
Как и категорические, сложные суждения могут быть сравнимыми и несравнимыми.
Сложные суждения называются несравнимыми, если в совместно построенной для них таблице истинности среди сочетаний их истинностных значений встречаются все возможные комбинации: (И И), (И Л), (Л И), (Л Л).
Пример. Рассмотрим суждения p Ú ùq и ùp Ù r. Построим для них совместную таблицу истинности:
p
q
r
ùq
p Ú ùq
ùp
ùp Ù r
И
И
И
Л
И
Л
Л
И
И
Л
Л
И
Л
Л
И
Л
И
И
И
Л
Л
И
Л
Л
И
И
Л
Л
Л
И
И
Л
Л
И
И
Л
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
И
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
И
И
Л
Сравнивая в выделенных столбцах значения истинности по строкам, видим, что в таблице встречаются все возможные комбинации истинностных значений. Значит, суждения p Ú ùq и ùp Ù r являются несравнимыми.
Сложные суждения называются сравнимыми, если в совместной таблице истинности среди сочетаний их истинностных значений отсутствует хотя бы одна возможная комбинация.
Пример. Суждения p ® q и p Ù q сравнимы. Проверим это с помощью совместной таблицы истинности:
p
q
p ® q
p Ù q
И
И
И
И
И
Л
Л
Л
Л
И
И
Л
Л
Л
И
Л
В строках выделенных столбцов отсутствует комбинация (Л И), что и свидетельствует о совместимости суждений.
Среди сложных сравнимых суждений различают совместимые и несовместимые.
Совместимыми называются суждения, одновременно истинные или принимающие во всех строках таблицы одни и те же значения. Несовместимыми считаются сложные суждения, которые не являются одновременно истинными и не принимают во всех строках таблицы истинности одни и те же значения.
Отношение совместимости имеет несколько разновидностей: эквивалентность, частичная совместимость и логическое следование (подчинение).
Эквивалентными называются суждения, которые принимают одно и то же значение во всех строках построенной для них совместно таблицы истинности.
Пример. Суждения ù(p Ù q) и ùp Ú ùq являются эквивалентными:
p
q
ùp
ùq
p Ù q
ù(p Ù q)
ùp Ú ùq
И
И
Л
Л
И
Л
Л
И
Л
Л
И
Л
И
И
Л
И
И
Л
Л
И
И
Л
Л
И
И
Л
И
И
Все логически истинные и логически ложные суждения эквивалентны друг другу.
Суждения частично совместимы, если в построенной для них совместно таблице истинности не встречается комбинация значений (Л Л), но встречаются все остальные возможные комбинации их значений. Главная черта частично совместимых суждений – они не могут быть одновременно ложными.
Пример. Частично совместимыми будут суждения ù(p Ù q) и p Ú q:
p
q
p Ù q
ù(p Ù q)
p Ú q
И
И
И
Л
И
И
Л
Л
И
И
Л
И
Л
И
И
Л
Л
Л
И
Л
Эти суждения находятся в отношении частичной совместимости, так как они могут быть вместе истинными, но не могут быть вместе ложными.
Суждения находятся в отношении логического следования, если не может быть так, чтобы первое суждение было истинно, а второе – ложно. Отношение логического следования в логике самое важное. Для его обозначения введен специальный знак «╞ ».
Пример. В отношении логического следования находятся суждения ùp Ù q и ùp ® q:
p
q
ùp
ùp Ù q
ùp ® q
И
И
Л
Л
И
И
Л
Л
Л
И
Л
И
И
И
И
Л
Л
И
Л
Л
Отношение несовместимости сводится к двум типам: противоречию и противоположности.
Суждения находятся в отношении противоречия, если они не могут быть ни вместе истинными, ни вместе ложными.
Пример. Отношение противоречия имеет место между суждениями p Ù q и ùp Ú ùq:
p
q
ùp
ùq
p Ù q
ùp Ú ùq
И
И
Л
Л
И
Л
И
Л
Л
И
Л
И
Л
И
И
Л
Л
И
Л
Л
И
И
Л
И
Суждения находятся в отношении противоположности, если в построенной для них совместно таблице истинности не встречается комбинация значений (И И), но встречаются все остальные возможные комбинации. Эти суждения могут быть вместе ложными, но не могут быть вместе истинными.
Пример. Противоположными являются суждения p Ù q и ùp Ù ùq:
p
q
ùp
ùq
p Ù q
ùp Ù ùq
И
И
Л
Л
И
Л
И
Л
Л
И
Л
Л
Л
И
И
Л
Л
Л
Л
Л
И
И
Л
И
Классификация отношений между сложными суждениями может быть представлена в виде схемы (рис. 17).
Рис. 17. Отношение между сложными суждениями
Знание отношений между сложными суждениями, как и между простыми, помогает правильно сочетать их в рассуждениях, избегать собственных ошибок и находить ошибки у оппонентов.
5.8 Отрицание суждений
Логическое отрицание, или инверсия (от лат. inversio – переворачивание), означает переход к противоречащему суждению. Отрицание суждений производится различно, в зависимости от вида суждения.
1. При отрицании единичных суждений меняется их качество, т.е. единично-утвердительное суждение становится единично-отрицательным, и наоборот.
Пример. Отрицанием единичного суждения «Иванов отличник» будет суждение «Иванов не является отличником».
2. При отрицании категорических суждений меняется их качество (утвердительное становится отрицательным и наоборот) и количество (общее становится частным и наоборот). Отрицание производится в соответствии со следующими схемами:
ùА~О ; ùО~А ; ùE~I ; ùI~E .
Пример. Суждение «Все студенты нашей группы – отличники» - общеутвердительное. Следовательно, его отрицанием должно быть частноотрицательное суждение: «Некоторые студенты нашей группы не являются отличниками».
3. При отрицании единично-единичных суждений меняется их качество.
Пример. Результатом отрицания суждения «Иван старше Петра» будет суждение «Иван не старше Петра».
4. При отрицании единично-множественного или множественно-единичного суждения с отношением меняется его качество и кванторы:
ù"xR(a,x)~$xùR(a,x) ; ù"xùR(a,x)~$xR(a,x) ;
ù"xR(x,a)~$xùR(x,a) ; ù"xùR(x,a)~$xR(x,a) ;
ù$xR(a,x)~"xùR(a,x) ; ù$xùR(a,x)~"xR(a,x) ;
ù$xR(x,a)~"xùR(x,a) ; ù$xùR(x,a)~"xR(x,a) .
Пример. Сделаем отрицание суждения «Москва больше всех европейских городов». Это утвердительное единично-множественное суждение, в котором понятие «европейские города» стоит с квантором «все». Следовательно, его отрицанием должно быть отрицательное единично-множественное суждение, в котором квантор «все» изменится на «некоторые»: «Москва не больше некоторых европейских городов».
5. Аналогично проводится отрицание множественно-множественных суждений с отношением, т.е. меняется их качество и кванторы:
Пример. «Все школьники умнее некоторых студентов». Результат отрицания этого суждения следующий: «Некоторые школьники не умнее всех студентов».
6. Отрицание сложных суждений различных видов производится согласно следующим эквивалентностям:
ù(АÙВ)~ùАÚùВ ;
ù(АÚВ)~ùАÙùВ ;
ù(АÉВ)~АÙùВ ;
ù(АÚВ)~АºВ ;
ù(АºВ)~(ùАÙВ)Ú(АÙùВ) .
Пример. «Если я зайду в гости, то опоздаю на лекцию». Это сложное импликативное суждение. Его отрицание: «Я зайду в гости и не опоздаю на лекцию».
Вопросы и упражнения для повторения
1. Дайте характеристику суждения как формы мышления. В чем заключается отличие суждения от понятий?
2. Что является знаком суждения?
3. Что в логике принято считать значением повествовательного предложения?
4. Что такое субъект и предикат суждения?
5. Что означает распределенность или нераспределенность терминов категорического суждения? Сформулируйте правило распределенности терминов в категорических суждениях.
6. Что означает отношение логического следования между суждениями?
7. Определите вид следующих суждений:
а) Каждое государство имеет свой гимн.
б) Либо в стремя ногой, либо в пень головой.
в) Все тайное становится явным.
г) Царь-колокол установлен восточнее колокольни Ивана Великого.
д) Когда б на то не Божья воля – Не отдали б Москвы.
е) Волков бояться – в лес не ходить.
ж) Некоторые животные очень умные.
з) Никто не является совершенным.
8. Определите вид следующих атрибутивных суждений и представьте их в стандартной форме:
а) Народы мира не хотят войны.
б) Человечество хочет мира.
в) Несколько дней бушевал ураган.
г) Не все современники динозавров вымерли.
д) Не шведы победили в битве под Полтавой.
9. Определите, являются ли данные суждения модальными, если – да, определите тип модальности:
а) Студент обязан выполнять требования учебного плана.
б) Возможно, он приедет в воскресенье.
в) Человек знает, что он смертен.
г) Иногда допускается сдавать экзамены позднее установленного срока.
д) Всякий владелец вещи может продать её.
е) Хищение собственности противоправно.
ж) Невозможно построить вечный двигатель.
з) Неверно сводить сознание к его материальному субстрату – физиологическим нервным процессам, протекающим в мозгу.
и) Существование живых организмов без кислорода невозможно.
к) За весной следует лето.
10. Выразите данные в суждениях модальности через другие, эквивалентные им:
а) Обыск может быть произведен только в присутствии понятых.
б) Разрешен проезд при зеленом свете светофора.
в) Физическое тело, лишенное опоры, с необходимостью падает на землю.
г) Нельзя курить в общественных местах.
д) Вряд ли кто-нибудь докажет теорему Ферма.
11. Используя «логический квадрат», определите отношения между суждениями в парах:
а) Некоторые студенты являются веселыми людьми / Некоторые студенты не являются веселыми людьми.
б) Все дети бездельники / Некоторые дети не являются бездельниками.
в) Все великие люди низкого роста / Некоторые великие люди не являются людьми низкого роста.
г) Некоторые собаки злые / Некоторые собаки не злые.
д) Все люди в жизни испытывают разочарование / Некоторые люди в жизни испытывают разочарование.
12. С помощью «логического квадрата» выведите противоположные, противоречащие и подчиненные данным суждения. Установите их истинность или ложность:
а) Всякое суждение выражается в предложении.
б) Ничто человеческое мне не чуждо.
в) Никто его не понял.
г) Каждый гражданин имеет право на самозащиту.
д) Все свидетельские показания подтвердились.
13. С помощью «логического квадрата» выведите противоположные, противоречащие и подчиненные данным суждения. Установите их истинность или ложность:
а) Всякое суждение выражается в предложении.
б) Ничто человеческое мне не чуждо.
в) Никто его не понял.
г) Каждый гражданин имеет право на самозащиту.
д) Все свидетельские показания подтвердились.
14. Проведите операцию отрицания суждений, если необходимо, приводя их к стандартной форме:
а) Многие учителя не имеют высшего образования.
б) Ни один человек не имеет менее тридцати двух зубов.
в) Бывают океаны с пресной водой.
г) Ни один программист не знает все языки программирования лучше некоторых студентов.
д) Встречаются люди, не прочитавшие за всю свою жизнь ни одной книги по логике.
е) «Блажен, кто посетил сей мир в его минуты роковые».
ж) Если ни один лентяй не является отличником, то все двоечники – лентяи.
15. Исследуйте табличным способом форму высказывания:
