Коэффициент детерминации

ОЦЕНКА ЗНАЧИМОСТИ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ

КОЛИЧЕСТВО ЧЛЕНОВ И СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ НИМИ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СТРУКТУРУ МОДЕЛИ

ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ

* Доверительный интервал для функции регрессии .

Для условного материального ожидания с заданной надежностью доверительной вероятностью j = 1- неизвестное значение.

Найдем дисперсию групповой средней:

Уравнение регрессии через среднюю:

Построим эту модель геометрически:

а – коэффициенты называются параметрами модели

Доверительный интервал – интервал, который попадет в значение параметра модели с заданной вероятностью (н.р. 0,95).

(1)

Основываясь на гипотезы регрессионного анализа можно оценить, что:

(2)

t – распределение Стьюдента.

k = n – 2 (число степеней свободы) позволяет построить доверительный интервал для условного математического ожидания.

(3)

- общая оценка дисперсии.

Для оценки индивидуальных значений необходимо учитывать рассеяние вокруг линий регрессии.

(4)

(5)

Можно показать, что при выполнении (5) предпосылки регрессионного анализа равны:

Если распределение заменить его оценкой , то статистика t определяется с помощью

(6)

Тогда интервальная оценка будет иметь следующий вид:

(7)

Проверить значимость уравнения регрессии – установить соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными экспериментальным данным, и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных для описания зависимой переменной.

Проверка значимости осуществляется на основании дисперсионного анализа (целое направление математической статистики).

Основные идем дисперсионного анализа определяют у нас ошибку модели, а именно:

Q – общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной;

Qr – сумма квадратов отклонений обусловленная регрессией;

Qe – остаточная сумма квадратов отклонений, характеризующая влияние неучтенных факторов и ошибок.

Таблица – схема дисперсионного анализа

Компоненты дисперсионного анализа	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средние квадраты
Регрессия		m-1	- несмещенная оценка дисперсии зависимой переменной, обусловленная регрессией
Остаточная		n-m	- несмещенная оценка дисперсии, характеризующая неучтенные факторы и ошибки
Общая		n-1	-

m – число оцениваемых параметров

n – число наблюдений

Замечания:

1. При оценке общей суммы квадратов полезно иметь формулу:

2. При отсутствии линейной зависимости случайные величины ; подчиняются и квадрату распределения, соответственно, с m-1, n-m степенями свободы, а их отношение – F-распределению.

Уравнение регрессии значимо на уровне , если фактически наблюдаемое значение статистики

(5)

k1 = m-1

k2 = n-m

где есть распределение Фишера – Сне – Декора, заданное степенями свободы.

С учетом определений средних квадратов можно сказать, что значение F показывает в какой мере регрессия лучше оценивает значение зависимой переменной по сравнению с ее средней.

В случае парной регрессии значение (5) имеет следующий вид:

(5’)

3. Значимость уравнения линейной парной регрессии может проведена и другим способом, если оценить значение коэффициента Б с помощью Т-распределения Стьюдента.

Уравнение парной регрессии или коэффициент регрессии Б, значимый на уровне (иначе гипотеза отвергается), если фактически наблюдаемое значение статистики:

(6)

Для парной линейной регрессии уравнения 5’ и 6 равносильны с учетом .

В нескольких задачах требуется оценить значимость коэффициента корреляции, при этом исходят из того, что при отсутствии корреляционной связи статистика t:

- t- распределение Стьюдента с (n-2) степенями свободы

(7),

где - табличные значения критерия Стьюдента (5’) (6)