Производные и дифференциалы высших порядков

Логарифмическая производная

Производные простейших элементарных функций

Используя определение 4 производной, а также теоремы 6 и 7, можно доказать следующее утверждение.

Теорема 8.В области определения соответствующих функций имеют место формулы:

Таблица производных

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Докажем, например, формулу используя теорему 6 о производной обратной функции. Функция является обратной по отношению к функциипричем поэтому по теореме 6 имеем

И, наконец, рассмотрим пример вычисления производной сложной функции, состоящей из многих звеньев:

При дифференцировании показательно-степенной функции обычно используют логарифмическую производную Делается это так:

Например,

Производная есть сама функция от поэтому можно взять от нее производную. Полученная таким образом функция (если она существует) называется второй производной от функции и обозначается И вообще:

если известна производная ( порядка), то производная го порядка определяется так: При этом функцияназывается раз дифференцируемой в точке

Аналогично определяются дифференциалы высшего порядка. Именно:

если известен дифференциал порядка то дифференциал го порядка определяется так: при этом дифференциал независимой переменной и все его степени считаются постоянными дифференцирования.

Имеем И вообще, справедливо утверждение: если функция дифференцируема раз в точке то

Нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема 1. В области определения выписанных ниже функций справедливы равенства:

Производные порядка являются линейными операциями, т.е.

Производная порядка для произведения вычисляется довольно сложно.

Формула Лейбница. Если функции дифференцируемы раз в точкето имеет место равенство

Здесь: число сочетаний из элементов по нулевая производная функции совпадает с ней самой: Легко видеть, что формула (1) напоминает формулу бинома Ньютона; только в ней вместо произведения степеней стоит произведение производных Учитывая это, легко записать, например, третью производную от произведения: