1. Построим прямоугольные таблицы размерности , где m, n – число допустимых значений соответственно первого и второго переменного. Отметим недопустимые пары значений символом – 0, а допустимы пары значений – 1.
a. Матрица А для предиката имеет вид:
Y X
b. Матрица B для предиката имеет вид:
Y X
2. Определим матрицу С, элементы которой суть конъюнкции соответствующих элементов матриц А и В.
Y X
Полученная матрица наглядно представляет область истинности предиката : - множество пар (X; Y): {(5, 4), (8, 7), (9, 8), (9, 10)}.
Пример 9.5.
Построить трёхместные предикаты P и Q на множестве , такие, что - выполним, и
Пусть .
Тогда .
Так как , то подставляя вместо переменной y значения 1; 2; 3, …, получаем:
.
Значит, – выполнимый предикат.
Докажем, что . Данный предикат может принять значение 1 только на таком наборе , при котором ,
, т.е. и .
Запишем высказывания в виде системы уравнений, где :
Складывая уравнения этой системы, получим , или . Так как в левой части равенства чётное, а в правой – нечётное, то ни при каких значениях переменных предикат не может принимать значения 1, следовательно,
Важную роль в логических представлениях систем, процессов, явлений с использованием предикатов играют собственные связки логики предикатов: общности и существования .
Пусть - предикат, определённый на множестве , т.е. .
Высказывание «Для всех из , что истинно» обозначается ; знак называется квантором общности.
Высказывание «существует такой из , что истинно» обозначается ; знак называется квантором существования.
Переход от к или называется связыванием переменной , или навешиванием квантора на переменную (или на предикат ), или квантификацией переменной .
Переменная, на которую навешен квантор, называется связанной, несвязанная квантором переменная называется свободной.
Выражения и не зависят от и при фиксированных имеют вполне определённые значения, представляя вполне конкретные высказывания относительно всех предметной области .
Навешивать кванторы можно и на многоместные предикаты и вообще на любые логические выражения. Выражение, на которое навешивается квантор, называется областью действия квантора; все вхождения переменной в это выражение являются связанными.
Пример 9.6.
Пусть определён на множестве людей , – предикат « ». Дать словесную формулировку предикатной формулы .
Решение.
Выражение означает «все люди смертны». Оно не зависит от переменной, характеризует всех людей в целом, т.е. выражает суждение относительно всех множества .
Пример 9.7.
Пусть – предикат « ». Дать словесную формулировку предикатной формулы . Определить её истинность.
Решение.
Данный предикат – « » является переменным высказыванием: при подстановке конкретного числа вместо переменной он превращается в простое высказывание, являющееся истинным или ложным. Например, при подстановке числа 7 имеем ложное высказывание «7 – чётное число», при , высказывание «8 – чётное число» является истинным.
Высказывание означает «в существует чётное число». По условию, множество, на котором задан предикат, неопределенно (задача сформулирована не вполне корректно), поэтому, доопределим его.
Пусть предикат определён на множестве натуральных чисел, т.е. , тогда высказывание - истинно.
В общем случае данное высказывание истинно на любом множестве, содержащем хотя бы одно чётное число, и ложно на любом множестве нечётных чисел.
Пример 9.8.
Записать предикатной формулой предложение «Любой человек имеет отца».
Решение.
Обозначим через предикат « - человек», а - предикат . Тогда исходное предложение можно записать в виде:
