Законы алгебры предикатов

Если в одной формуле есть кванторы общности и существования, то при формализации суждений следует стремиться поставить квантор существования слева всей формулы.

Значения всех предметных переменных и постоянных должны принадлежать одной области определения предиката или функции;

Если формула содержит подформулу, то внутренняя формула не должна содержать кванторов, связывающих ту же переменную, что и квантор формулы;

За квантором общности чаще всего следует логическая связка импликации, а за квантором существования - конъюнкции;

Приведенные примеры позволяют сформулировать некоторые правила записи сложных суждений.

В этом суждении два одноместных предиката

Ошибочной является формула

Ошибочной является формула

F=$x(P₁(x)®P₂(x)):=”некоторые числа, если они являются действительными, то они рациональные, т.к. замена безкванторной части на эквивалентную дает F=$x(ùP₁(x)ÚP₂(x)):=”некоторые числа не являются действительными или являются рациональными”.

Пример: Суждение “Все рациональные числа действительные”.

Формула сложного суждения должна быть записана так:

F="x(P₁(x)®P₂(x)).

F="x(P₁(x)&P₂(x)):=”все числа являются и действительными и рациональными”.

Пример: Суждение “Саша – мальчик, у которого нет машины. Таня –девочка, которая любит мальчиков, имеющих машины. Следовательно, Таня не любит Сашу”.

P₁(x):=”быть мальчиком”, P₂(x):=”быть девочкой”, и два двухместных P₃(x; y):=”x любит y”, P₄(x; y):=”x имеет y” три высказывания P₁(a):=”Саша – мальчик”, P₂(b):=”Таня - девочка” и ùP₄(a; c):=”Саша не имеет машины (с)”.

Формула сложного суждения должна быть записана так:

P₁(a); P₂(b); ùP₄(a; c); $_x(P₂(x)&"_y(P₁(y) &P₄(y; c)® P₃(x; y))

P₂(b)&ùP₃(b; a)).

1) каждое вхождение логической связки “ù” относится к формуле, следующей непосредственно за логической связкой справа;

2) каждое вхождение логической связки “&” после расстановки скобок связывает формулы, непосредственно окружающие логическую связку;

3) каждое вхождение логической связки “Ú” после расстановки скобок связывает формулы, непосредственно окружающие эту связку.

4)Логические связки по силе и значимости могут быть упорядочены так:

ù; &; Ú; ®; «.

Формулы называют равносильными, если при любых подстановках предметных постоянных они принимают одинаковое значение. Если две формулы F₁ и F₂ равносильны, т.е F₁=F₂, то они эквивалентны.

Если формула алгебры предикатов F имеет вхождением подфор­мулу F_i , т.е. F( t₁; t₂;¼; F_i; ¼ ), для которой существует эквивалентная ей подформула F_j т.е. F_i = F_j, то возможна подстановка всюду в формулу F вместо формулы F_i подформулу F_j без нарушения истинности формулы, т.е.

F( t₁; t₂;¼; F_i; ¼ )= F( t₁; t₂;¼; F_j; ¼ ).