Обработка числовых данных с помощью компьютера позволяет производить сложные, объемные расчеты, за короткое время и обеспечить при этом высокую точность и надежность вычислений.
Большинство математических систем, используемых при работе с компьютерами, являются системами для выполнения численных расчетов, т.е. численными системами. Они превращают компьютер в большой программируемый калькулятор, способный быстро и автоматически (по введенной программе) выполнять арифметические операции. Их результат всегда конкретен – это или числа, или совокупности чисел.
Однако, бывают случаи, когда характер самой задачи не даёт возможности решить её численными методами (например, вычисление суммы числового ряда, являющегося расходящимся), т.е. возникает необходимость получить решение задачи в символьном (аналитическом) виде. Кроме того, очень часто даже самая мизерная ошибка вычислений сильно искажает результат. Если разрешить в последовательных шагах вычислений переменным оставаться неизвестными (т.е. без числовых значений) и в точной форме (например, 1/3 вместо 0,3333…), можно обеспечить получение ответов с гораздо большей точностью и избежать ошибки округлений.
Для решения подобных задач в качестве альтернативы численным методам используют символьную компьютерную математику и соответственно символьные математические системы. Подобные системы позволяют также осуществлять такие распространенные аналитические вычисления как упрощение математических формул, вычисление пределов, производных и первообразных функций, разложении их в ряды Тейлора и Фурье, вычислении корней многочленов с буквенными коэффициентами и т.д. и т.п.
Освоение символьной математики компьютерами началось в начале 60-х годов. В связи с этим появилось новое научное направление – компьютерная алгебра.
В настоящее время для научно-технических расчетов на компьютерах все чаще и чаще используется не традиционные языки программирования и не электронные таблицы, а специальные математические программы типа Reduce, Eureka и такие мощные математические пакеты для персональных компьютеров как Derive, Mathematica, Maple MathCAD, MatLab.
Универсальные математические пакеты предназначены для проведения разнообразных математических вычислений – аналитических (символьных) или приближенных (численных). Помимо универсальных, говорят о специализированных математических пакетах, которые предназначены для решения математических задач вполне определенного круга. Например, статистические пакеты решают задачи анализа данных методами математической статистики.
Все математические пакеты позволяют выполнять арифметические и логические операции, производить вычисление алгебраических, тригонометрических функций и им обратных; выполнять статистические и финансово-экономические операции. Действия могут выполняться над числами произвольной разрядности и в различных системах счисления (от 2 до 36), с действительными и комплексными числами. Имеется обширный набор средств для работы с матрицами. Полученные при вычислении результаты в математических пакетах могут интерпретироваться в графическом виде. Современные математические пакеты содержат встроенные средства вычерчивания плоских и трехмерных графиков.
Особенности современных математических пакетов (MathCad, Mathematica и Maple)
Все математические пакеты имеют общий и хорошо известный из опыта работы с текстовыми и графическими редакторами интерфейс, знакомый набор файловых операций, известные принципы редактирования документов, возможности настройки системы.
Математические выражения записываются в их общепринятой нотации: числитель находится вверху, а знаменатель – внизу; в интеграле пределы интегрирования также расположены на своих привычных местах.
Основной особенностью всех современных математических систем является то, что они обладают средствами символьной математики, что позволяет решать поставленные задачи или этапы задачи не только численно, но и аналитически.
Процесс создания «программы» идет параллельно с её отладкой. Это означает, что пользователь, общается с математическим пакетом в диалоговом режиме: введя в документ новое выражение, может не только сразу подсчитать, чему оно равно при определенных значениях переменных, но и построить график или поверхность, беглый взгляд на которые может безошибочно показать, где кроется ошибка, если она была допущена при вводе формул или при создании самой математической модели.
В этих пакетах имеется довольно мощный математический аппарат, позволяющий решать алгебраические уравнения и их системы (линейные и нелинейные), обыкновенные дифференциальные уравнения и системы (задача Коши и краевая задача), дифференциальные уравнения в частных производных, обрабатывать статистические данные, решать задачи интерполяции, экстраполяции, аппроксимации, работать с векторами и матрицами, исследовать функции и многое другое.
Пакеты дополнены справочником по основным математическим и физико-математическим формулам и константам, которые можно автоматически переносить в документ без опасения внести в них искажения, нередкие при ручной работе.
Как правило, к данным пакетам можно приобрести те или иные электронные учебники по различным дисциплинам: решение обыкновенных дифференциальных уравнений, статистика, термодинамика, теория управления, сопротивление материалов и т.д.;
Решая поставленную задачу, пользователь может вводить не только числовые значения переменных, но и дополнять их размерностями. При этом пользователь вправе выбирать нужную систему единиц измерения.
Современные математические системы оборудованы средствами анимации, что позволяет реализовать созданные модели не только в статике (числа, таблицы, графики), но и в динамике (анимационные клипы, построение динамических моделей исследуемых систем).
Не выходя из среды пакета, возможно, открывать новые документы на других серверах и пользоваться теми преимуществами информационных технологий, какие предоставляет Интернет.
Кроме того, не следует забывать, что современные математические системы - это полноценное Windows-приложения. Решая поставленную задачу, можно в статике (через буфер обмена Windows) или в динамике (OLE-технологии) передать данные в среду другой программы ( в среду языка Pascal, например) и там решить часть задачи.
